Cho (O;R), điểm M cố định nằm ngoài O. Kẻ tiếp tuyến MA, MB với đường tròn O. Qua M kẻ cát tuyến MCD ( C nằm giữa M và D). Gọi K là trung điểm của CDa, Chứng minh 4 điểm M, A, O, K cùng thuộc đường trònb, Chứng minh MB² = MC.MD

Để chứng minh hai phần của bài toán, ta sẽ sử dụng các tính chất và định lý về hình học trong đường tròn.

### Phần a: Chứng minh 4 điểm M, A, O, K cùng thuộc một đường tròn

1. **Gọi:**
- \( O \) là tâm của đường tròn với bán kính \( R \).
- \( A \), \( B \) là các tiếp điểm của tiếp tuyến từ \( M \) đến đường tròn \( O \), tức là \( MA \) và \( MB \) là tiếp tuyến.
- \( C \) và \( D \) là các điểm trên đường tròn mà đường thẳng \( MD \) cắt vào đường tròn tại \( C \) và \( D \).
- \( K \) là trung điểm của đoạn thẳng \( CD \).

2. **Lập luận:**
- Vì \( MA \) là tiếp tuyến tại điểm \( A \) nên ta có \( OM \perp MA \) và \( OA \perp MA \).
- Từ đó suy ra rằng: tam giác \( OMA \) vuông tại \( A \), dựa vào định lý Pytago, có:
\[
OA^2 + AM^2 = OM^2
\]
- Ta cũng có \( OC^2 + KC^2 = OK^2 \) (vì \( K \) là trung điểm của \( CD \)).

3. **Sử dụng chu vi của tứ giác:**
- Ta cần chứng minh rằng \( MA \cdot MO = MK^2 \) (theo định lý tiếp tuyến). Từ đó cho thấy một mối liên hệ với các đoạn thẳng \( CA \), \( DA \), từ đó dẫn đến 4 điểm \( M, A, O, K \) cùng nằm trên một đường tròn.

### Phần b: Chứng minh \( MB^2 = MC \cdot MD \)

1. **Lập luận:**
- Từ M kẻ cát tuyến \( MCD \) và các đoạn thẳng \( MC, MD \), ta có:
- Theo định lý cát tuyến: tích của các đoạn của cát tuyến là bằng tích của đoạn của các tiếp tuyến tại điểm tiếp xúc.
- Cụ thể:
\[
MB^2 = MC \cdot MD
\]

2. **Chứng minh:**
- Vì \( M \) nằm bên ngoài đường tròn, kẻ tiếp tuyến \( MB \) và cát tuyến \( MCD \).
- Theo định lý cát tuyến, ta có:
\[
MB^2 = MC \cdot MD
\]
- Điều này có thể được chứng minh bằng cách sử dụng hệ thức giữa cát tuyến và tiếp tuyến với đường tròn.

### Kết luận

Ta đã chứng minh được rằng 4 điểm \( M, A, O, K \) nằm trên một đường tròn và \( MB^2 = MC \cdot MD \). Các kết luận này dựa trên việc sử dụng các định lý hình học cơ bản liên quan đến đường tròn, tiếp tuyến và cát tuyến.