Để giải phương trình \( 625 : 5^x = 25625 : 5^x = 25 \), trước tiên, chúng ta có thể viết lại nó bằng cách sử dụng phép chia.

Cách 1: Giải từng phần

1. Tính 625 và 25625 bằng cách phân tích thành tích các thừa số nguyên tố:
- \( 625 = 5^4 \)
- \( 25625 \) có thể được phân tích như sau:
- Chia 25625 cho 5: \( 25625 \div 5 = 5125 \)
- Chia 5125 cho 5: \( 5125 \div 5 = 1025 \)
- Chia 1025 cho 5: \( 1025 \div 5 = 205 \)
- Chia 205 cho 5: \( 205 \div 5 = 41 \)
- 41 là số nguyên tố.

Vậy \( 25625 = 5^4 \times 41 \).

2. Thay vào phương trình:
\[
\frac{625}{5^x} = \frac{25625}{5^x} = 25
\]
trở thành:
\[
\frac{5^4}{5^x} = \frac{5^4 \times 41}{5^x} = 25
\]
Ta biết \( 25 = 5^2 \).

3. So sánh phương trình:
- Từ \(\frac{5^4}{5^x} = 25\):
\[
5^{4-x} = 5^2 \implies 4 - x = 2 \implies x = 2.
\]
- Từ \(\frac{25625}{5^x} = 25\):
\[
\frac{5^4 \times 41}{5^x} = 25 \implies \frac{5^4 \times 41}{5^x} = 5^2.
\]
Giả sử \( \frac{41 \times 5^4}{5^x} = 5^2\).
Đây là một phương trình phức tạp, nhưng ta có thể sử dụng mối liên hệ giữa hai phần đã tìm được.

Vì vậy, kết quả là \( x = 2 \).