Để chứng minh rằng

\[
\frac{AC}{AB} = \frac{\sin B}{\sin C}
\]

trong tam giác ABC vuông tại A, ta sử dụng định lý sin.

1. **Định lý sin**: Trong bất kỳ tam giác nào, tỉ số giữa độ dài của một cạnh và sin của góc đối diện cạnh đó là một hằng số, tức là:

\[
\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}
\]

với \( a, b, c \) là độ dài các cạnh đối diện với các góc \( A, B, C \).

2. **Áp dụng vào tam giác ABC**:
- Gọi \( AB = c \), \( AC = b \), \( BC = a \).
- Theo định nghĩa, ta có:
- \( a = BC \)
- \( b = AC \)
- \( c = AB \)
- Vì tam giác ABC vuông tại A, theo định lý sin, ta có:

\[
\frac{AC}{\sin B} = \frac{BC}{\sin C}
\]

3. **Tiến hành chứng minh**:

- Từ tỉ lệ trên, ta viết lại:

\[
\frac{AC}{AB} = \frac{\sin B}{\sin C}
\]

do đó ta đã chứng minh xong đẳng thức.

### Bài tập cụ thể

Với \( \angle B = 30^\circ \) và \( BC = 15 \, cm \):

1. Tính \( AB \):

Sử dụng định lý sin:
\[
\frac{BC}{\sin A} = \frac{AB}{\sin B}
\]

2. Vì \( \angle A = 90^\circ \) nên \( \sin A = 1 \):
\[
\frac{15}{1} = \frac{AB}{\sin 30^\circ}
\]
Biết rằng \( \sin 30^\circ = \frac{1}{2} \), ta thay vào:
\[
15 = \frac{AB}{\frac{1}{2}} \Rightarrow AB = 15 \cdot \frac{1}{2} = 30 \, cm
\]

Vậy cạnh \( AB = 30 \, cm\).