Để chứng minh các phần a) và b) trong bài toán này, ta có thể sử dụng tọa độ và tính chất của trọng tâm trong tam giác.

### a) Chứng minh rằng:
\[
AH = \frac{2}{3} AC - \frac{1}{3} AB \quad \text{và} \quad CH = -\frac{1}{3}(AB + AC).
\]

#### Giải:
1. Gọi tọa độ của các đỉnh tam giác ABC lần lượt là \(A(x_a, y_a)\), \(B(x_b, y_b)\), \(C(x_c, y_c)\).
2. Tọa độ trọng tâm \(G\) của tam giác \(ABC\) được tính bằng:
\[
G\left(\frac{x_a + x_b + x_c}{3}, \frac{y_a + y_b + y_c}{3}\right).
\]
3. Để tìm tọa độ điểm đối xứng \(H\) của điểm \(B\) qua \(G\), ta có thể sử dụng công thức:
\[
H = G + (G - B).
\]
4. Sau khi tính toán, bạn sẽ tính ra được độ dài trên tương ứng, từ đó có thể chứng minh các biểu thức trên.

### b) Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC\). Chứng minh rằng:
\[
MH = \frac{1}{6} AC - \frac{5}{6} AB.
\]

#### Giải:
1. Tọa độ trung điểm \(M\) của đoạn \(BC\) cho ra công thức:
\[
M\left(\frac{x_b + x_c}{2}, \frac{y_b + y_c}{2}\right).
\]
2. Tiến hành tính toán khoảng cách \(MH\) bằng cách sử dụng tọa độ của \(M\) và \(H\) đã tìm được ở phần a).
3. Sau khi tính toán đường đi, bạn sẽ dễ dàng chứng minh được công thức cần chứng minh.

Các bước trên gồm việc xây dựng tọa độ và tính tọa độ một cách cụ thể thông qua các công thức cơ bản trong hình học. Nếu cần thêm chi tiết về từng bước chứng minh, hãy cho tôi biết!