Gọi \( F(x) \) là nguyên hàm của hàm số \( f(x) trên khoảng \((-∞; 1)\) thỏa mãn điều kiện \( F(0) = 1 \). Tìm \( a \) khi \( F(1-e) = \frac{1}{2} e^2 - 2e \)

Để giải bài toán này, trước tiên chúng ta cần xác định nguyên hàm \( F(x) \) của hàm số \( f(x) \):

\[
f(x) = \frac{x^2 + a}{x - 1}
\]

Ta sẽ phân tích mẫu số thành nhiều phần để tính nguyên hàm. Đầu tiên, hãy viết hàm số dưới dạng phân số đơn giản hơn.

**Bước 1:** Phân tích \( f(x) \):

\[
f(x) = \frac{x^2 + a}{x - 1} = \frac{x^2 - 1 + (a + 1)}{x - 1} = \frac{(x - 1)(x + 1) + (a + 1)}{x - 1} = x + 1 + \frac{a}{x - 1}
\]

Vậy:

\[
f(x) = x + 1 + \frac{a}{x - 1}
\]

**Bước 2:** Tính nguyên hàm \( F(x) \):

Nguyên hàm của \( f(x) \) sẽ là:

\[
F(x) = \int f(x) \, dx = \int (x + 1) \, dx + a \int \frac{1}{x - 1} \, dx
\]

Điều này cho ra:

\[
F(x) = \frac{x^2}{2} + x + a \ln |x - 1| + C
\]

**Bước 3:** Sử dụng điều kiện \( F(0) = 1 \):

Tại \( x = 0 \):

\[
F(0) = \frac{0^2}{2} + 0 + a \ln |0 - 1| + C = a \ln 1 + C = C
\]

Do đó, \( F(0) = C = 1 \).

**Bước 4:** Điều chỉnh hàm \( F(x) \):

Vì vậy, ta có:

\[
F(x) = \frac{x^2}{2} + x + a \ln |x - 1| + 1
\]

**Bước 5:** Tìm \( a \) cho điều kiện \( F(1 - e) = \frac{1}{2} e^2 - 2e \).

Tính \( F(1 - e) \):

\[
F(1 - e) = \frac{(1 - e)^2}{2} + (1 - e) + a \ln |(1 - e) - 1| + 1
\]
\[
= \frac{(1 - e)^2}{2} + (1 - e) + a \ln | - e | + 1
\]
\[
= \frac{(1 - 2e + e^2)}{2} + 1 - e + a \ln e + 1
\]
\[
= \frac{1 - 2e + e^2}{2} + 2 - e + a
\]
\[
= \frac{1 + e^2}{2} - \frac{2e}{2} + 2 - e + a
\]
\[
= \frac{e^2}{2} - e + \frac{1}{2} + 2 + a
\]

Đặt điều kiện:

\[
F(1 - e) = \frac{1}{2} e^2 - 2e \implies \frac{e^2}{2} - e + \frac{1}{2} + 2 + a = \frac{1}{2} e^2 - 2e
\]

Giải phương trình:

\[
\frac{e^2}{2} - e + \frac{5}{2} + a = \frac{1}{2} e^2 - 2e
\]

Rút gọn và tìm \( a \):

\[
-a = -e - 2 \implies a = -e - 2
\]

Như vậy, giá trị của \( a \) là:

\[
\boxed{-e - 2}
\]