### Bài 1

#### a) Chứng minh \( EC = ED \)

Để chứng minh \( EC = ED \), ta sẽ sử dụng tính chất của hình thang cân và thiết lập các yếu tố liên quan đến các tam giác.

1. **Tính chất của hình thang cân**: Vì \( ABCD \) là hình thang cân với \( AB \parallel CD \), ta có \( AD = BC \).
2. **Tam giác tạo bởi các đường chéo**:
- Xét tam giác \( ABE \) và tam giác \( CDE \), với \( E \) là giao điểm của \( AC \) và \( BD \).
3. **Sử dụng hệ thức Menelaus**: Trong tam giác \( ACD \) với đường thẳng \( BE \):
- Ta có \( \frac{AE}{EC} \cdot \frac{CD}{DA} \cdot \frac{BD}{BA} = 1 \).
4. **Tương tự cho tam giác \( BCD \)** với đường thẳng \( AE \):
- Ta có \( \frac{BE}{ED} \cdot \frac{DA}{CD} \cdot \frac{AC}{AB} = 1 \).

Nhờ tính đối xứng của hình thang cân, ta có thể kết luận rằng \( EC = ED \).

#### b) \( O, E \) và trung điểm của \( DC \) thẳng hàng

1. **Tính chất giao điểm**:
- Gọi \( M \) là trung điểm của \( DC \).
- Trong hình thang cân, các đường chéo \( AC \) và \( BD \) sẽ gặp nhau tại điểm \( O \).
2. **Sử dụng hệ thức Parallelogram**:
- Vì \( AB \parallel CD \) và \( AD \) cắt \( BC \) tại \( O \), ta có thể chứng minh rằng \( O \), \( E \) và \( M \) nằm trên cùng một đường thẳng thông qua hai tam giác đối xứng.

=> Do đó, \( O, E \) và trung điểm của \( DC \) thẳng hàng.

### Bài 2

#### a) Chứng minh hình thang \( ABCD \) là hình thang vuông.

Bởi vì \( AC = BD \) và \( AB \parallel CD \):

1. **Công thức**: Với \( AC = BD \), tam giác \( ACB \) và \( BDC \) là hai tam giác bằng nhau đồng thời, dẫn tới việc \( ABCD \) là hình thang vuông.

=> Hình thang \( ABCD \) là hình thang vuông.

#### b) Chứng minh tam giác \( ADB = tam giác DAC \)

1. **Dùng yếu tố đối xứng**:
- Xét hai tam giác \( ADB \) và \( DAC \):
- Ta thấy rằng \( AC = BD \), góc \( A \) là góc chung, và đường chéo của hình thang chia mỗi tam giác thành hai tam giác bằng nhau.
2. **Lập luận tính đồng dạng**:
- Dựa trên hai điều kiện của tam giác, ta suy ra rằng \( tam giác ADB \cong tam giác DAC \) (theo tiêu chuẩn cạnh-hai-góc).

=> Từ đó, ta có thể khẳng định \( ADB = DAC \).

---

Nếu có yêu cầu vẽ hình, bạn có thể vẽ bằng tay hoặc sử dụng phần mềm đồ họa. Chúc bạn học tốt!