Để giải các bất phương trình đã cho, ta lần lượt xét từng bài một.

### Bài a: Giải bất phương trình
\[
\frac{2x(3x - 5)}{x^2 + 1} < 0
\]

1. **Xác định mẫu số**: Mẫu số là \(x^2 + 1\) luôn dương với mọi giá trị của \(x\). Vì vậy, dấu của phân thức chỉ phụ thuộc vào tử số \(2x(3x - 5)\).

2. **Xét dấu của tử số**:
\[
2x(3x - 5) < 0
\]
Ta cần tìm các giá trị làm cho \(2x(3x - 5) = 0\):
- \(2x = 0 \Rightarrow x = 0\)
- \(3x - 5 = 0 \Rightarrow x = \frac{5}{3}\)

3. **Xét các khoảng**:
Chia trục số thành các khoảng: \((- \infty, 0)\), \( (0, \frac{5}{3})\), \( (\frac{5}{3}, +\infty)\)

4. **Xét dấu trong từng khoảng**:
- Với \(x < 0\), ví dụ \(x = -1\): \(2(-1)(3(-1) - 5) = 2(-1)(-8) > 0\) (Dương)
- Với \(0 < x < \frac{5}{3}\), ví dụ \(x = 1\): \(2(1)(3(1) - 5) = 2(1)(-2) < 0\) (Âm)
- Với \(x > \frac{5}{3}\), ví dụ \(x = 2\): \(2(2)(3(2) - 5) = 2(2)(1) > 0\) (Dương)

5. **Kết luận**: Bất phương trình \(2x(3x - 5) < 0\) có nghiệm trong khoảng \((0, \frac{5}{3})\).

### Bài b: Giải bất phương trình
\[
\frac{x}{x - 2} + x + \frac{2}{x} > 2
\]

1. **Chuyển về cùng mẫu**: Đưa tất cả về một bên:
\[
\frac{x}{x - 2} + x + \frac{2}{x} - 2 > 0
\]
Đặt \(y = \frac{x}{x - 2} + x + \frac{2}{x} - 2\).

2. **Tính toán lại phân thức**:
Tính từng thành phần:
\[
y = \frac{x}{x - 2} - 2 + x + \frac{2}{x} = \frac{x}{x - 2} - \frac{2(x - 2)}{x - 2} + x + \frac{2}{x}
\]
Sắp xếp hợp nhất:
\[
= \frac{x - 2(x - 2) + x(x - 2) + 2(x - 2)}{x(x - 2)} > 0
\]

3. **Kết hợp các điều kiện**:
Ta cần tìm nghiệm cho bất phương trình trên.

4. **Phân tích và xét dấu**:
- Tìm các giá trị không xác định cho bất phương trình:
- Mẫu số \(x - 2\) không được bằng 0, nghĩa là \(x \neq 2\) và \(x \neq 0\).
- Xét nghiệm cho các khoảng:
- Chia các khoảng và xét dấu trên từng khoảng.

Cuối cùng, ta sẽ thu được nghiệm cho \(y > 0\).

### Kết luận
Bất phương trình \(a\) có nghiệm trong khoảng \( (0, \frac{5}{3})\).

Bất phương trình \(b\) cũng cần phải giải chi tiết và xét dấu nhưng cần thực hiện một số bước biến đổi và tìm các khoảng phù hợp.

Nhớ kiểm tra các điểm không xác định trong quá trình tìm nghiệm!