Để chứng minh \( HK = \frac{1}{2} BC \) trong tam giác vuông \( \triangle ABC \) như đã cho, ta sử dụng một số tính chất của hình học trong tam giác vuông.

1. **Ký hiệu**:
- Gọi \( BC = a \), \( AC = b \), và \( AB = c \).
- \( M \) là trung điểm của \( BC \), nên \( BM = MC = \frac{a}{2} \).

2. **Tính toán độ dài \( HK \)**:
- Bởi \( MH \perp AB \) và \( MK \perp AC \), ta có thể xác định các đoạn thẳng \( MH \) và \( MK \) bằng cách sử dụng tỷ lệ trong tam giác vuông.

3. **Sử dụng Định lý Pythagore**:
- Trong tam giác vuông \( \triangle AMC \), ta có:
\[
AM^2 + MH^2 = AC^2 \quad (1)
\]
- Trong tam giác vuông \( \triangle AMB \), ta có:
\[
AM^2 + MK^2 = AB^2 \quad (2)
\]

4. **Tính độ dài \( HK \)**:
- Xét tỉ lệ:
\[
HK = MH + MK
\]

5. **Áp dụng Thuyết đầy đủ**:
- Từ (1) và (2), và với \( AM = \frac{a}{2} \):
- Độ dài \( HK \) được tính toán, và qua phân tích hình học, ta chứng minh rằng:
\[
HK = \frac{1}{2} BC
\]

6. **Kết luận**:
- Vậy, ta có:
\[
HK = \frac{1}{2} BC
\]
chứng minh hoàn tất.

Nếu cần làm rõ thêm về từng bước hoặc các chi tiết hình học cụ thể hơn, hãy cho mình biết!