Để giải bài toán về tam giác vuông và các đường cao trong tam giác, ta sẽ lần lượt trả lời từng câu hỏi như sau:

**a)** Tứ giác AQHP là hình gì? Vì sao?

Tứ giác AQHP là hình chữ nhật. Bởi vì:

- \(HP \perp AB\) và \(AQ \perp AC\) (đặc điểm của đường cao trong tam giác vuông).
- Từ đó, ta có \(AH \perp PQ\).
- Kết hợp với việc di chuyển theo chiều dài giữa các điểm \(A\), \(H\), \(P\), và \(Q\) tạo thành các góc vuông. Do đó, AQHP thỏa mãn tính chất của hình chữ nhật.

**b)** Chứng minh AK ⊥ QH và OK là đường trung trực của HQ.

Để chứng minh:

- \(K\) là trung điểm của \(HC\), do đó \(HK = KC\).
- Xét tam giác vuông \(AHC\), điểm \(K\) tạo thành 2 đoạn thẳng bằng nhau.
- Tương tự, \(O\) là giao điểm của \(AH\) và \(PQ\). Do đó, \(O\) nằm trên đường thẳng \(HQ\) và giữ vai trò là điểm chính giữa.
- Cả hai đoạn \(AK\) và \(OQ\) đều chia đôi các khoảng cách giữa các điểm, do đó \(AK \perp QH\).

**c)** Tìm điều kiện của tam giác ABC để tứ giác AOKC là hình thang cân.

Tam giác ABC là hình thang cân nếu hai cạnh \(AC\) và \(AB\) có độ dài bằng nhau. Cụ thể, điều kiện là:

\[ AB = AC \]

Khi đó, tứ giác AOKC sẽ có tính chất đối xứng qua đường trung trực của cạnh \(AC\) và tạo thành hình thang cân.