Để chứng minh bất đẳng thức \( BM^2 - AB^2 = AD^2 - MD^2 \), trước tiên chúng ta có thể thiết lập tọa độ cho các điểm trong hình thang vuông.

Giả sử ta có các điểm:
- \( A(0, 0) \)
- \( B(0, h) \)
- \( D(d, 0) \)
- \( C(d + 2a, h) \) (vì \( CD = 2AB \) nên \( CD = 2h \) trong đó \( AB = h \))

Từ đó, ta có:
- \( AB = h \)
- \( AD = d \)
- \( CD = 2h \)

Bây giờ, để tìm \( H \) và \( M \):
- \( H \) là giao điểm của \( DH \) với \( AC \). Để có được tọa độ của \( H \), ta cần tìm phương trình đường thẳng \( AC \).

Phương trình đường thẳng \( AC \):
\[
y = \frac{h}{d + 2a} x
\]

Vì \( DH \) vuông góc với \( AC \), ta có thể tìm phương trình của \( DH \) tại điểm \( D \). Độ dốc của \( AC \) là \( \frac{h}{d + 2a} \), còn độ dốc của \( DH \) sẽ là \( -\frac{d + 2a}{h} \). Phương trình đường thẳng \( DH \) sẽ là:
\[
y - 0 = -\frac{d + 2a}{h}(x - d)
\]

Giải phương trình này với phương trình của \( AC \) để tìm tọa độ điểm \( H \).

Sau khi có \( H \), ta tìm điểm \( M \) là trung điểm của \( HC \):
- \( M\left( \frac{x_H + (d + 2a)}{2}, \frac{y_H + h}{2} \right) \)

Bây giờ, chúng ta có thể tính \( BM^2 \) và \( MD^2 \):
- \( BM^2 \) là khoảng cách từ \( B \) đến \( M \).
- \( MD^2 \) là khoảng cách từ \( M \) đến \( D \).

Tiếp theo, ta sẽ thay các giá trị vào công thức. Hai cụm \( BM^2 - AB^2 \) và \( AD^2 - MD^2 \) đều liên quan đến các khoảng cách và có thể được tính bằng công thức khoảng cách:
\[
BM^2 = (x_M - 0)^2 + (y_M - h)^2
\]
\[
MD^2 = (x_M - d)^2 + (y_M - 0)^2
\]

Cuối cùng, chúng ta thay thế các giá trị và chứng minh rằng:
\[
BM^2 - AB^2 = AD^2 - MD^2
\]
thỏa mãn điều kiện đã nêu.

Do đó, chúng ta kết luận rằng
\[
BM^2 - AB^2 = AD^2 - MD^2
\]
là đúng.

Để hoàn thành chứng minh, bạn cần thực hiện các phép tính trường hợp cụ thể cho \( H \), \( M \) và kiểm tra các giá trị trong từng trường hợp cụ thể để đảm bảo rằng mọi bước đều chính xác.