Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy tam giác đều tâm O cạnh a, hình chiếu C' trên mặt phẳng (ABC) trùng với tâm của đáy. Cạnh bên CC' hợp với mặt đáy ABC một góc 60 độ. Gọi I là trung điểm AB

Để giải bài toán này, chúng ta cần xác định các yếu tố của hình lăng trụ đều và sử dụng hình tròn phương pháp hình học.

1. **Tính khoảng cách từ O đến CC'**:

- Đầu tiên, chúng ta xác định tọa độ các điểm trong không gian.
- Đặt A, B, C lần lượt ở các tọa độ: \(A(0, \frac{a\sqrt{3}}{3}, 0)\), \(B(a, \frac{a\sqrt{3}}{3}, 0)\), \(C(\frac{a}{2}, 0, 0)\).
- Tâm O của tam giác đều ABC sẽ có tọa độ \(O(\frac{a}{2}, \frac{a\sqrt{3}}{6}, 0)\).

- Cạnh bên \(CC'\) hợp với mặt đáy một góc \(60^\circ\) cho phép chúng ta xác định chiều cao của điểm \(C'\) từ mặt phẳng \(ABC\).
- Hình chiếu C' tại O, do đó chiều cao \(CC'\) là \(CC' = h = OC' = OC \cdot \tan(60^\circ) = OC \cdot \sqrt{3}\).

- Chiều dài từ O đến CC' sẽ là cạnh đáy O đến C' (có chiều cao vuông góc). Khoảng cách từ O đến CC' là:
\[
d = OC' \cdot \sin(60^\circ) = OC \cdot \tan(60^\circ) = \frac{a}{2} \cdot \sqrt{3} = \frac{a\sqrt{3}}{2}
\]

2. **Tính khoảng cách từ C đến IC'**:

- Tọa độ điểm I (trung điểm AB) là:
\[
I \left( \frac{a}{2}, \frac{a\sqrt{3}}{3}, 0 \right)
\]

- Khoảng cách từ C đến \(C'\) là:
\[
CC' = OC' = CC' = h
\]

- Để tìm khoảng cách từ C đến I, ta có thể ứng dụng công thức khoảng cách giữa hai điểm trong không gian:
\[
d = \sqrt{(x_I - x_C)^2 + (y_I - y_C)^2 + (z_I - z_C)^2}
\]
- Đặt tọa độ C như sau:
\[
C\left( \frac{a}{2}, 0, 0 \right)
\]
- Tính toán:
\[
x: \frac{a}{2} - \frac{a}{2} = 0 \\
y: \frac{a\sqrt{3}}{3} - 0 = \frac{a\sqrt{3}}{3} \\
z: 0 - h = -h
\]
- Đưa vào công thức:
\[
d = \sqrt{0^2 + \left(\frac{a\sqrt{3}}{3}\right)^2 + h^2}
\]

Tính toán khoảng cách C đến \(IC'\) sẽ phụ thuộc vào chiều cao đã tính trước. Hãy thay thế và tính với công thức khoảng cách để có được kết quả chính xác.

Tóm lại, bạn có thể thực hiện các bước tính toán trên theo sự gợi ý mà tôi đã đưa ra để có được kết quả cuối cùng cho mỗi phần của bài tập.