Để tính độ dài các đoạn thẳng \( AB \), \( BH \), \( AC \), và \( BC \) trong tam giác \( ABC \), chúng ta có thể sử dụng các công thức liên quan đến đường cao và các góc trong tam giác.

### 1. Tính các thông số đã biết:
- Đường cao \( AH = 6 \, \text{cm} \)
- Góc \( \angle B = 40^\circ \)
- Góc \( \angle C = 35^\circ \)

### 2. Tính \( \angle A \):
\[
\angle A = 180^\circ - \angle B - \angle C = 180^\circ - 40^\circ - 35^\circ = 105^\circ
\]

### 3. Sử dụng định lý sin để tính độ dài các cạnh:
Theo định lý sin, ta có:
\[
\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}
\]
Trong đó:
- \( a = BC \)
- \( b = AC \)
- \( c = AB \)

### 4. Tính \( AB \):
\[
AB = c = \frac{AH}{\sin B} = \frac{6}{\sin 40^\circ}
\]

### 5. Tính \( AC \):
\[
AC = b = \frac{AH}{\sin C} = \frac{6}{\sin 35^\circ}
\]

### 6. Tính \( BC \):
Theo định lý sin:
\[
BC = a = \frac{6}{\sin B} \cdot \sin A
\]

### 7. Tính độ dài các đoạn thẳng:
Sử dụng máy tính để tính giá trị:

- Đầu tiên tính \(\sin\):
- \( \sin 40^\circ \approx 0.6428 \)
- \( \sin 35^\circ \approx 0.5736 \)
- \( \sin 105^\circ \approx 0.9659 \)

#### Tính \( AB \):
\[
AB = \frac{6}{\sin 40^\circ} \approx \frac{6}{0.6428} \approx 9.33 \, \text{cm}
\]

#### Tính \( AC \):
\[
AC = \frac{6}{\sin 35^\circ} \approx \frac{6}{0.5736} \approx 10.46 \, \text{cm}
\]

#### Tính \( BC \):
\[
BC = \frac{6}{\sin 40^\circ} \cdot \sin 105^\circ = 9.33 \cdot 0.9659 \approx 9.01 \, \text{cm}
\]

### 8. Tóm tắt kết quả:
- Đoạn thẳng \( AB \approx 9.3 \, \text{cm} \)
- Đoạn thẳng \( AC \approx 10.5 \, \text{cm} \)
- Đoạn thẳng \( BC \approx 9.0 \, \text{cm} \)
- Đoạn thẳng \( BH = AH \cdot \tan B = 6 \cdot \tan(40^\circ) \)

Tính \( BH \):
\[
BH = 6 \cdot \tan(40^\circ) \approx 6 \cdot 0.8391 \approx 5.03 \, \text{cm}
\]

### Kết quả cuối cùng:
- \( AB \approx 9.3 \, \text{cm} \)
- \( AC \approx 10.5 \, \text{cm} \)
- \( BC \approx 9.0 \, \text{cm} \)
- \( BH \approx 5.0 \, \text{cm} \)

Các kết quả đã được làm tròn đến hàng phần mười.