Để chứng minh rằng \( N + 5 \) chia hết cho \( N - 2 \), trước hết ta có thể viết lại điều kiện này dưới dạng phương trình:

Ta cần chứng minh \( N + 5 \equiv 0 \pmod{N - 2} \).

Bắt đầu bằng cách thay \( N \) bằng \( N - 2 + 2 \):

\[
N + 5 = (N - 2) + 7
\]

Ta có:

\[
N + 5 \equiv 7 \pmod{N - 2}
\]

Điều này có nghĩa là \( N + 5 \) chia hết cho \( N - 2 \) nếu và chỉ nếu \( 7 \equiv 0 \pmod{N - 2} \). Nghĩa là \( N - 2 \) phải chia hết cho 7.

Vậy ta có thể kết luận rằng \( N + 5 \) chia hết cho \( N - 2 \) nếu \( N - 2 \) là một trong các ước số của 7. Điều này chỉ xảy ra khi \( N - 2 = 1 \) hoặc \( N - 2 = 7 \) (các ước số của 7 là 1 và 7).

Tóm lại, điều kiện \( N + 5 \) chia hết cho \( N - 2 \) chỉ xảy ra khi \( N - 2 = 1 \) hoặc \( N - 2 = 7 \), tức là \( N \) có thể là 3 hoặc 9.

Như vậy, quá trình trên đã chứng minh điều kiện là đúng đắn khi xét các trường hợp cụ thể cho \( N \).