Cho tam giác ABC đều, G là trọng tâm, đường cao AH. M là một điểm trên cạnh BC và I là trung điểm AM. Gọi D, E là hình chiếu của M lên AB và AC

Để giải bài toán trong tam giác đều ABC với các điểm và hình chiếu đã cho, ta sẽ làm theo từng phần yêu cầu:

### a. Chứng minh hình DIEH là hình thoi

1. **Cấu hình:**
- Tam giác đều ABC có các cạnh AB = AC = BC.
- G là trọng tâm, từ đó có thể suy ra rằng G chia mỗi đường cao thành tỉ lệ 2:1.
- D và E là hình chiếu của M lên AB và AC.

2. **Tính chất:**
- Đoạn GD = GH và GE = GH (vì G là trọng tâm, các đoạn này sẽ bằng nhau).
- Từ tính chất hình chiếu, ta có:
- MD = ME (vì M là điểm trên BC và hai hình chiếu này đều nằm trên các cạnh đối diện).

3. **Kết luận:**
- Với GD = GE và MD = ME, ta kết luận hình DGEH là hình thoi do các cạnh đối diện bằng nhau và các góc đối diện bằng nhau (góc tại G).

### b. Chứng minh IH, DE và MG đồng quy

1. **Cấu hình:**
- I là trung điểm của AM, nên từ I đến AH (đường cao) sẽ có một số đặc điểm hình học quan trọng.
- DE là đoạn nối giữa hai hình chiếu, trong khi MG là đoạn nối trọng tâm G với M.

2. **Đồng quy:**
- Sử dụng định lý Menelaus cho tam giác ABM với điểm I nằm trên AM và DE cắt BC (hoặc mở rộng của nó).
- Các đoạn thẳng IH, DE và MG sẽ cắt nhau tại một điểm duy nhất nhờ vào tính chất của các đoạn thẳng trong tam giác và mối quan hệ giữa các điểm I, D, E, G.

3. **Kết luận:**
- Do đó, ta có thể khẳng định rằng IH, DE và MG đồng quy.

### Tóm tắt:
- Hình DGEH là hình thoi bởi các đặc điểm về cạnh và góc.
- Các đoạn IH, DE và MG đồng quy nhờ vào các tính chất hình học của tam giác đều và các điểm liên quan.