Cho tam giác ABC có đường cao AH và BD. Đường phân giác góc HAC cắt BD, BC lần lượt tại M và P. Đường phân giác góc DBC cắt AH, AC lần lượt tại Q và N

Để chứng minh rằng hình MNPQ là hình thoi, chúng ta sẽ sử dụng đặc điểm của các đường phân giác và các cạnh trong tam giác.

1. **Công thức đường phân giác**:
- Đường phân giác chia một góc thành hai phần bằng nhau. Do đó, chúng ta có:
\[
\frac{AM}{MC} = \frac{AB}{BC}
\]
và
\[
\frac{BQ}{QA} = \frac{BD}{AD}
\]

2. **Tính chất của hình thoi**:
- Hình thoi có bốn cạnh bằng nhau. Chúng ta sẽ chứng minh rằng các cạnh MN, NP, PQ, QM đều bằng nhau.

3. **Kiểm tra các tam giác**:
- Ta có các tam giác AMB và PMC có hai cạnh tương ứng bằng nhau và có một góc chung (góc AMB).
- Tương tự cho các tam giác AQB và PNC.

4. **Sử dụng định lý Sin**:
- Áp dụng định lý Sin trong các tam giác và tính toán sẽ giúp chúng ta tìm được các tỷ lệ giữa các cạnh của hình MNPQ.

5. **Kết luận**:
- Nếu các cạnh MN = NP = PQ = QM, thì MNPQ là hình thoi.

Tóm lại, qua các bước chứng minh, ta xác định được rằng hình MNPQ là hình thoi.