Để giải phương trình \( \tan(2x - \frac{\pi}{6}) \cdot \tan(4x) = -1 \), ta sẽ sử dụng một số tính chất của hàm tang.

Ta bắt đầu với phương trình:

\[
\tan(2x - \frac{\pi}{6}) \cdot \tan(4x) = -1
\]

Nếu ta đặt \( t_1 = \tan(2x - \frac{\pi}{6}) \) và \( t_2 = \tan(4x) \), phương trình trở thành:

\[
t_1 \cdot t_2 = -1 \implies t_2 = -\frac{1}{t_1}
\]

Hàm tang có tính chất:

\(\tan(a) = \tan(b) \implies a = b + k\pi \, (k \in \mathbb{Z})\)

Từ đó, ta có thể viết lại như sau:

\[
\tan(4x) = -\frac{1}{\tan(2x - \frac{\pi}{6})}
\]

Áp dụng công thức của tan:

\[
\tan(4x) = \frac{\tan(2x + 2x)}{1 - \tan^2(2x)}
\]

Nhưng để đơn giản hơn, ta sẽ xét điều kiện của phương trình. do đó thay đổi cách giải, ta có thể lấy nhẩm các góc mà \( t_1 t_2 = -1 \) thường xảy ra khi \( t_2 = \tan(2x - \frac{\pi}{6}) + \frac{ \pi}{2} \).

Giả sử:

\[
4x = (2x - \frac{\pi}{6}) + \frac{\pi}{2} + k\pi
\]

Sắp xếp phương trình này, ta có:

\[
4x - 2x = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{6} + k\pi
\]

\[
2x = \frac{3\pi}{6} + k\pi
\]

\[
x = \frac{3\pi}{12} + \frac{k\pi}{2} = \frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2}
\]

Vậy nghiệm tổng quát của phương trình là:

\[
x = \frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2} \quad (k \in \mathbb{Z})
\]

Ta có thể thay giá trị của \( k \) vào để có những nghiệm cụ thể trong các khoảng cần thiết.