Chúng ta sẽ giải lần lượt các bài toán đã đề cập.

### Bài 19: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \( B = 4x - x^2 + 5 \)

Biểu thức \( B \) có dạng hàm bậc hai:
\[
B = -x^2 + 4x + 5
\]

Hệ số của \( x^2 \) là âm, do đó đồ thị là một parabola ngược và có cực đại. Cực trị sẽ xảy ra tại:
\[
x = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2 \cdot (-1)} = 2
\]

Thay \( x = 2 \) vào biểu thức \( B \):
\[
B_{max} = 4(2) - (2)^2 + 5 = 8 - 4 + 5 = 9
\]
Vậy, \( B_{max} = 9 \Leftrightarrow x = 2 \).

### Bài 12: Chứng minh giá trị của biểu thức \( P = x^2 - 2x + 3 \) luôn luôn dương với mọi \( x \)

Biểu thức \( P \) có thể viết lại dưới dạng hoàn thiện bình phương:
\[
P = (x-1)^2 + 2
\]
Hàng bậc hai \((x-1)^2\) luôn lớn hơn hoặc bằng 0 với mọi \( x \), do đó:
\[
P \geq 2 > 0 \quad \forall x
\]
Vậy \( P \) luôn dương.

### Bài 13: Chứng minh giá trị của biểu thức \( Q = 6x - x^2 - 10 \) luôn luôn âm với mọi giá trị của \( x \)

Biểu thức \( Q = -x^2 + 6x - 10 \) có dạng hàm bậc hai:
\[
Q = -1(x^2 - 6x + 10)
\]
Tính delta:
\[
\Delta = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10 = 36 - 40 = -4
\]
Vì delta âm, hàm luôn âm, do đó:
\[
Q \leq 0 \quad \forall x
\]
Và có giá trị cực đại đạt tại:
\[
x = 3 \Rightarrow Q = 6(3) - (3)^2 - 10 = 18 - 9 - 10 = -1
\]
Vậy \( Q \) luôn âm.

### Bài 14: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( P = x^2 + 10x + 28 \)

Biểu thức \( P \) có thể viết lại dưới dạng hoàn thiện bình phương:
\[
P = (x+5)^2 + 3
\]
Rõ ràng \((x+5)^2 \geq 0\):
\[
P \geq 3
\]
Giá trị nhỏ nhất xảy ra khi \( x = -5 \). Vậy \( P_{min} = 3 \).

### Bài 15: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( Q = 5x^2 - 10x \)

Biểu thức \( Q \) có thể viết lại:
\[
Q = 5(x^2 - 2x) = 5((x-1)^2 - 1) = 5(x-1)^2 - 5
\]
Nhận thấy rằng \((x-1)^2 \geq 0\):
\[
Q \geq -5
\]
Giá trị nhỏ nhất là \( -5 \) khi \( x = 1 \).

### Bài 16: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \( P = x - x^2 - 1 \)

Biểu thức \( P = -x^2 + x - 1 \) cũng là một hàm bậc hai, có cực đại tại:
\[
x = -\frac{b}{2a} = -\frac{1}{2 \cdot (-1)} = \frac{1}{2}
\]
Thay \( x = \frac{1}{2} \):
\[
P_{max} = -\left( \frac{1}{2} \right)^2 + \frac{1}{2} - 1 = -\frac{1}{4} + \frac{1}{2} - 1 = -\frac{1}{4} + \frac{2}{4} - \frac{4}{4} = -\frac{3}{4}
\]
Vậy \( P_{max} = -\frac{3}{4} \) khi \( x = \frac{1}{2} \).