Giải hệ phương trình: \(\frac{3}{x+y}\) + \(\frac{10}{x-y}\) = 1 và \(\frac{5}{x+y}\) + \(\frac{6}{x-y}\) = -1

Để giải hệ phương trình:

\[
\begin{cases}
\frac{3}{x+y} + \frac{10}{x-y} = 1 \\
\frac{5}{x+y} + \frac{6}{x-y} = -1
\end{cases}
\]

ta đặt \( u = x + y \) và \( v = x - y \). Khi đó, hệ phương trình trở thành:

\[
\begin{cases}
\frac{3}{u} + \frac{10}{v} = 1 \\
\frac{5}{u} + \frac{6}{v} = -1
\end{cases}
\]

**Bước 1: Giải phương trình đầu tiên.**

Từ phương trình đầu tiên, ta có:

\[
\frac{3}{u} = 1 - \frac{10}{v}
\]

Sắp xếp lại:

\[
\frac{3}{u} = \frac{v - 10}{v}
\]

Sau đó nhân chéo:

\[
3v = u(v - 10) \implies 3v = uv - 10u \implies uv - 10u - 3v = 0
\]

**Bước 2: Giải phương trình thứ hai.**

Từ phương trình thứ hai:

\[
\frac{5}{u} = -1 - \frac{6}{v}
\]

Sắp xếp lại:

\[
\frac{5}{u} = -\frac{v + 6}{v}
\]

Nhân chéo:

\[
5v = -u(v + 6) \implies 5v = -uv - 6u \implies uv + 5v + 6u = 0
\]

**Bước 3: Giải hệ phương trình \(uv - 10u - 3v = 0\) và \(uv + 5v + 6u = 0\).**

Ta có:

1. \( uv - 10u - 3v = 0 \) (1)
2. \( uv + 5v + 6u = 0 \) (2)

**Trừ phương trình (1) từ phương trình (2):**

\[
(uv + 5v + 6u) - (uv - 10u - 3v) = 0 \implies 15u + 8v = 0 \implies v = -\frac{15}{8}u
\]

**Bước 4: Thay v vào một trong hai phương trình:**

Thay \( v = -\frac{15}{8}u \) vào phương trình (1):

\[
u\left(-\frac{15}{8}u\right) - 10u - 3\left(-\frac{15}{8}u\right) = 0
\]

Sắp xếp lại và giải:

\[
-\frac{15}{8}u^2 - 10u + \frac{45}{8}u = 0
\]

\[
-\frac{15}{8}u^2 + \frac{5}{8}u = 0 \implies u(-\frac{15}{8}u + \frac{5}{8}) = 0
\]

**Kết quả:**

- \( u = 0 \) (không có nghiệm)
- \( -\frac{15}{8}u + \frac{5}{8} = 0 \) dẫn đến \( u = \frac{1}{3} \)

**Bước 5: Tìm v từ u = 1/3:**

\[
v = -\frac{15}{8} \cdot \frac{1}{3} = -\frac{5}{8}
\]

**Bước 6: Giải \( x \) và \( y \):**

Từ \( u \) và \( v \):

\[
x + y = \frac{1}{3} \text{ và } x - y = -\frac{5}{8}
\]

Giải hệ phương trình này:

Cộng hai phương trình:

\[
2x = \frac{1}{3} - \frac{5}{8}
\]

Đưa về cùng mẫu (24):

\[
2x = \frac{8}{24} - \frac{15}{24} = -\frac{7}{24} \implies x = -\frac{7}{48}
\]

Thay vào một trong các phương trình để tìm \( y \):

\[
-\frac{7}{48} + y = \frac{1}{3} \implies y = \frac{1}{3} + \frac{7}{48}
\]

Đưa về cùng mẫu (48):

\[
y = \frac{16}{48} + \frac{7}{48} = \frac{23}{48}
\]

**Kết quả cuối cùng:**

\[
\boxed{\left( -\frac{7}{48}, \frac{23}{48} \right)}
\]