Để giải bài toán này, chúng ta sẽ tiến hành theo từng yêu cầu.

1. **Chứng minh OM là tia phân giác của góc AOC.**

- Theo định nghĩa, tiếp tuyến tại một điểm A trên đường tròn với tâm O vuông góc với bán kính OA. Do đó, ta có:
\[
\angle OAM = 90^\circ
\]

- Trong tam giác AOM, OM là một đường thẳng từ điểm M ngoài đường tròn đến đường tròn. Dây cung Ab được vẽ vuông góc với OM tại điểm H, có nghĩa là H là điểm trên dây cung Ab mà OM cắt.

- Giả sử O là tâm đường tròn và C là điểm đối diện với A, khi đó tam giác AOC có cạnh OA và OC. Từ giả thuyết, chúng ta có:
\[
\angle OAH = \angle OAH \quad \text{(giống nhau vì OM là tiếp tuyến)}
\]

- Ta có thể nhận thấy rằng OM chia góc AOC thành hai góc bằng:
\[
\angle OAM = \angle OCM
\]

- Vậy nên, OM là tia phân giác của góc AOC.

2. **So sánh tam giác OAM và tam giác OBM; chứng minh đường thẳng MB là tiếp tuyến của (O).**

- Xét hai tam giác OAM và OBM:
- OA là bán kính của đường tròn, và MB là một đoạn thẳng kéo dài từ M đến B.
- Ta có:
- OA = OB (cả hai đều là bán kính của đường tròn).
- AM = MB (cùng là đường thẳng).
- OM là một tia phân giác.

- Theo dấu hiệu tiếp tuyến, nếu MB là tiếp tuyến tại điểm B thì:
\[
OM^2 = OA^2 - AM^2
\]

- Từ đây, nếu tính được rằng:
\[
BM^2 = OB^2 - OM^2
\]

- Thì từ đó suy ra rằng MB vuông góc với OB, tức là đường thẳng MB chính là tiếp tuyến tại điểm B của đường tròn.

- Như vậy, ta đã chứng minh rằng đường thẳng MB là tiếp tuyến của (O).

Tóm lại, chúng ta đã chứng minh được OM là tia phân giác của góc AOC và MB là tiếp tuyến của đường tròn với tâm O.