Một số sách khi xếp thành từng bó 12 cuốn, 15 cuốn hay 18 cuốn đều thu ra một cuốn. Biết số sách chưa đến 300 cuốn. Tính số sách đó?

Để tìm số sách thỏa mãn các điều kiện đã cho, chúng ta cần tìm số tự nhiên \(N\) sao cho:

- \(N \equiv 1 \ (\text{mod} \ 12)\)
- \(N \equiv 1 \ (\text{mod} \ 15)\)
- \(N \equiv 1 \ (\text{mod} \ 18)\)
- \(N < 300\)

Các điều kiện trên có thể được hiểu là \(N - 1\) phải chia hết cho 12, 15 và 18. Ta tìm bội chung nhỏ nhất (BCNN) của 12, 15 và 18.

- Các thừa số nguyên tố phân tích:
- \(12 = 2^2 \times 3\)
- \(15 = 3 \times 5\)
- \(18 = 2 \times 3^2\)

BCNN là \(2^2 \times 3^2 \times 5 = 60\).

Do đó, ta có \(N - 1 = 60k\) với \(k\) là số nguyên dương. Vậy \(N = 60k + 1\).

Khi đó, ta cần tìm các giá trị của \(k\) sao cho \(N < 300\):

\[60k + 1 < 300\]

\[60k < 299\]

\[k < \frac{299}{60} \approx 4.983\]

Vì \(k\) là số nguyên dương, \(k\) có thể nhận các giá trị 1, 2, 3 và 4.

Tính các giá trị của \(N\):

- Với \(k = 1\): \(N = 60 \times 1 + 1 = 61\)
- Với \(k = 2\): \(N = 60 \times 2 + 1 = 121\)
- Với \(k = 3\): \(N = 60 \times 3 + 1 = 181\)
- Với \(k = 4\): \(N = 60 \times 4 + 1 = 241\)

Giá trị lớn nhất của \(N\) với \(k = 4\) cho ta \(N = 241\). Kiểm tra lại điều kiện:

- \(241 \div 12\) dư 1
- \(241 \div 15\) dư 1
- \(241 \div 18\) dư 1

Tất cả đều thỏa mãn.

Vậy số sách đó là **241 cuốn**.