Để chứng minh bất phương trình \(-3x^2 + 12x - 13 > 0\), trước tiên chúng ta sẽ giải phương trình bậc hai tương ứng:

\[
-3x^2 + 12x - 13 = 0
\]

Chúng ta có thể sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai. Phương trình có dạng \(ax^2 + bx + c = 0\), với \(a = -3\), \(b = 12\), và \(c = -13\). Công thức nghiệm là:

\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\]

Tính \(b^2 - 4ac\):

\[
b^2 - 4ac = 12^2 - 4 \cdot (-3) \cdot (-13) = 144 - 156 = -12
\]

Vì \(b^2 - 4ac < 0\), phương trình bậc hai \(-3x^2 + 12x - 13 = 0\) không có nghiệm thực. Điều này có nghĩa là biểu thức \(-3x^2 + 12x - 13\) không bao giờ bằng 0.

Bây giờ chúng ta cần kiểm tra dấu của hệ số ở trước \(x^2\). Trong biểu thức \(-3x^2 + 12x - 13\), hệ số của \(x^2\) là \(-3\), là một số âm. Điều này chỉ ra rằng đồ thị của hàm số này là một parabol hướng xuống.

Vì vậy, với một parabol hướng xuống và không có nghiệm thực, giá trị của biểu thức \(-3x^2 + 12x - 13\) phải luôn lớn hơn 0.

Kết luận, ta có thể chứng minh rằng:

\[
-3x^2 + 12x - 13 > 0 \quad \text{với mọi } x \in \mathbb{R}.
\]

Chúng ta đã chứng minh bất phương trình đã cho.