Để chứng minh bốn điểm A, B, C, D và M, N, P, Q cùng thuộc một đường tròn trong các hình đã cho, ta sử dụng định lý về tứ giác nội tiếp:

### a) Chứng minh bốn điểm A, B, C, D cùng thuộc một đường tròn

1. **Xét hình vuông ABCD**:
- A, B, C, D là bốn đỉnh của hình vuông.
- Các góc ở tâm O của hình vuông bằng 90 độ.

2. **Định lý tứ giác nội tiếp**:
- Tứ giác ABCD có tổng hai góc đối diện bằng 180 độ:
- Các góc A + C = 90 + 90 = 180 độ.
- Các góc B + D = 90 + 90 = 180 độ.

Vì vậy, bốn điểm A, B, C, D cùng thuộc một đường tròn.

### b) Chứng minh bốn điểm M, N, P, Q cùng thuộc một đường tròn

1. **Xét hình chữ nhật MNPQ**:
- M, N, P, Q là bốn đỉnh của hình chữ nhật.
- Các góc ở tâm I của hình chữ nhật cũng bằng 90 độ.

2. **Định lý tứ giác nội tiếp**:
- Tứ giác MNPQ có tổng hai góc đối diện bằng 180 độ:
- Các góc M + P = 90 + 90 = 180 độ.
- Các góc N + Q = 90 + 90 = 180 độ.

Do đó, bốn điểm M, N, P, Q cũng cùng thuộc một đường tròn.

### Kết luận
Cả hai tập hợp bốn điểm A, B, C, D và M, N, P, Q đều cùng thuộc một đường tròn theo định lý tứ giác nội tiếp.