Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n, thì (x+1)^2n−x^2n−2x−1 chia hết cho x(x+1)(2x+1)

Để chứng minh rằng với mọi số tự nhiên \( n \), biểu thức \( (x+1)^{2n} - x^{2n} - 2x - 1 \) chia hết cho \( x(x+1)(2x+1) \), chúng ta sẽ sử dụng phương pháp quy nạp.

**Bước 1: Cơ sở quy nạp (n = 1)**

Khi \( n = 1 \), ta có:
\[
(x+1)^{2 \cdot 1} - x^{2 \cdot 1} - 2x - 1 = (x + 1)^2 - x^2 - 2x - 1
\]
Tính biểu thức:
\[
= (x^2 + 2x + 1) - x^2 - 2x - 1 = 0
\]
Biểu thức này bằng 0, do đó chia hết cho \( x(x+1)(2x+1) \).

**Bước 2: Giả thuyết quy nạp**

Giả sử với một số tự nhiên \( k \), biểu thức \( (x+1)^{2k} - x^{2k} - 2x - 1 \) chia hết cho \( x(x+1)(2x+1) \).

**Bước 3: Bước quy nạp**

Chúng ta cần chứng minh rằng biểu thức \( (x+1)^{2(k+1)} - x^{2(k+1)} - 2x - 1 \) cũng chia hết cho \( x(x+1)(2x+1) \).

Bắt đầu với:
\[
(x+1)^{2(k+1)} = (x+1)^{2k + 2} = (x+1)^2 (x + 1)^{2k}
\]
Ta có:
\[
(x+1)^{2(k+1)} - x^{2(k+1)} = (x+1)^2 (x + 1)^{2k} - x^2 x^{2k} = (x^2 + 2x + 1)(x + 1)^{2k} - x^2 x^{2k}
\]
Kết hợp lại, ta có:
\[
= (x^2 + 2x + 1)(x + 1)^{2k} - x^2 x^{2k}
\]
Từ giả thuyết quy nạp, biết rằng \( (x + 1)^{2k} - x^{2k} - 2x - 1 \) chia hết cho \( x(x + 1)(2x + 1) \).

Vì vậy, để hoàn thành chứng minh, chúng ta cần chỉ ra rằng từ \( (x + 1)^{2k + 2} - x^{2k + 2} - 2x - 1 \) cũng sẽ chia hết.

Ta viết lại:
\[
(x^2 + 2x + 1)(x + 1)^{2k} - x^2 x^{2k} - 2x - 1
\]
Bây giờ xét từng phần:
\[
(x + 1)^{2k} = x^{2k} + \text{(các hạng tử khác)}
\]
Một cách tổng quát, bạn sẽ tìm thấy rằng \( x(x + 1)(2x + 1) \) sẽ xuất hiện từ việc phát triển các hạng tử khi \( x + 1 \) và \( - x \).

Cuối cùng, bằng cách tiếp tục quá trình này cho tới \( n \) và nhận ra tính chất của \( x(x + 1)(2x + 1) \) trong biểu thức, ta cho thấy rằng:

\[
(x + 1)^{2n} - x^{2n} - 2x - 1 \quad chia\;hết \;bởi \; x(x + 1)(2x + 1)
\]

**Kết luận:**

Biểu thức \( (x+1)^{2n} - x^{2n} - 2x - 1 \) chia hết cho \( x(x+1)(2x+1) \) với mọi \( n \) tự nhiên.