Cho △ABC vuông tại A với AB = AC = a. Dùng hình và tính độ dài của các vectơ sau: AB + 3AC

Để giải bài toán, ta sẽ vẽ tam giác vuông ABC tại A với AB = AC = a.

1. **Vẽ tam giác:**
- Đặt A tại gốc toạ độ (0, 0).
- Điểm B sẽ nằm trên trục hoành tại (a, 0).
- Điểm C sẽ nằm trên trục tung tại (0, a).

Do đó, ta có:
\[
\vec{AB} = \vec{B} - \vec{A} = (a, 0) - (0, 0) = (a, 0)
\]
\[
\vec{AC} = \vec{C} - \vec{A} = (0, a) - (0, 0) = (0, a)
\]

2. **Tính độ dài các vectơ theo yêu cầu:**

a) **Tính \(2\vec{AB} + 3\vec{AC}\)**:
\[
2\vec{AB} = 2(a, 0) = (2a, 0)
\]
\[
3\vec{AC} = 3(0, a) = (0, 3a)
\]
\[
2\vec{AB} + 3\vec{AC} = (2a, 0) + (0, 3a) = (2a, 3a)
\]
Độ dài:
\[
||2\vec{AB} + 3\vec{AC}|| = \sqrt{(2a)^2 + (3a)^2} = \sqrt{4a^2 + 9a^2} = \sqrt{13a^2} = a\sqrt{13}
\]

b) **Tính \(\vec{AB} - \frac{1}{2}\vec{AC}\)**:
\[
\frac{1}{2}\vec{AC} = \frac{1}{2}(0, a) = (0, \frac{a}{2})
\]
\[
\vec{AB} - \frac{1}{2}\vec{AC} = (a, 0) - (0, \frac{a}{2}) = (a, -\frac{a}{2})
\]
Độ dài:
\[
||\vec{AB} - \frac{1}{2}\vec{AC}|| = \sqrt{a^2 + \left(-\frac{a}{2}\right)^2} = \sqrt{a^2 + \frac{a^2}{4}} = \sqrt{\frac{4a^2 + a^2}{4}} = \sqrt{\frac{5a^2}{4}} = \frac{a\sqrt{5}}{2}
\]

c) **Tính \(-\vec{AB} + 2\vec{AC}\)**:
\[
2\vec{AC} = 2(0, a) = (0, 2a)
\]
\[
-\vec{AB} + 2\vec{AC} = (-a, 0) + (0, 2a) = (-a, 2a)
\]
Độ dài:
\[
||-\vec{AB} + 2\vec{AC}|| = \sqrt{(-a)^2 + (2a)^2} = \sqrt{a^2 + 4a^2} = \sqrt{5a^2} = a\sqrt{5}
\]

**Kết quả:**
- a) Độ dài của \(2\vec{AB} + 3\vec{AC} = a\sqrt{13}\)
- b) Độ dài của \(\vec{AB} - \frac{1}{2}\vec{AC} = \frac{a\sqrt{5}}{2}\)
- c) Độ dài của \(-\vec{AB} + 2\vec{AC} = a\sqrt{5}\)