Để chứng minh phương trình:
\[
\cos^4 a - \cos^4 \left( a - \frac{\pi}{2} \right) = \cos 2a,
\]
trước hết, chúng ta sẽ dùng tính chất của hàm cos và các định nghĩa liên quan để đơn giản hóa biểu thức.

1. **Tính giá trị của \(\cos\left(a - \frac{\pi}{2}\right)\)**:

Ta có:
\[
\cos\left(a - \frac{\pi}{2}\right) = \sin a.
\]

2. **Thay vào phương trình**:

Thay giá trị vào phương trình, ta có:
\[
\cos^4 a - \sin^4 a.
\]

3. **Sử dụng công thức hiệu của hai bình phương**:

Nhận thấy rằng \(\cos^4 a - \sin^4 a\) có thể viết dưới dạng hiệu của hai bình phương:
\[
\cos^4 a - \sin^4 a = (\cos^2 a)^2 - (\sin^2 a)^2 = (\cos^2 a - \sin^2 a)(\cos^2 a + \sin^2 a).
\]
Theo định lý Pytago, ta có:
\[
\cos^2 a + \sin^2 a = 1.
\]
Do đó, biểu thức trên trở thành:
\[
\cos^4 a - \sin^4 a = (\cos^2 a - \sin^2 a)(1) = \cos^2 a - \sin^2 a.
\]

4. **Nhận diện giá trị \(\cos 2a\)**:

Ta có công thức:
\[
\cos 2a = \cos^2 a - \sin^2 a.
\]

5. **Kết luận**:

Vậy ta có:
\[
\cos^4 a - \cos^4\left(a - \frac{\pi}{2}\right) = \cos^2 a - \sin^2 a = \cos 2a.
\]
Điều này hoàn tất chứng minh rằng:
\[
\cos^4 a - \cos^4\left(a - \frac{\pi}{2}\right) = \cos 2a.
\]

Do đó, đương nhiên, phương trình đã được chứng minh.