Để giải bất phương trình:

\[
\frac{2x+1}{-3} - \frac{2x^2+3}{-4} > \frac{x(5-3x)}{-6} - \frac{4x+1}{-5}
\]

trước tiên, ta sẽ xóa các mẫu bằng cách nhân cả hai bên với 60 (bởi vì 60 là bội chung nhỏ nhất của 3, 4, 6 và 5). Ta có:

\[
60 \left( \frac{2x+1}{-3} \right) - 60 \left( \frac{2x^2+3}{-4} \right) > 60 \left( \frac{x(5-3x)}{-6} \right) - 60 \left( \frac{4x+1}{-5} \right)
\]

Giải từng phần:

\[
-20(2x+1) + 15(2x^2 + 3) > -10(x(5-3x)) + 12(4x+1)
\]

Phân tích và nhóm các hạng tử lại:

Bên trái:

\[
-40x - 20 + 30x^2 + 45
\]

Bên phải:

\[
-10(5x - 3x^2) + 48x + 12 = 30x^2 + 48x + 12
\]

Kết hợp lại, ta có:

\[
30x^2 - 40x + 25 > -30x^2 + 48x + 12
\]

Giải phương trình thu gọn:

\[
30x^2 + 30x^2 - 40x - 48x + 25 - 12 > 0
\]

\[
60x^2 - 88x + 13 > 0
\]

Bây giờ, ta sử dụng bất phương trình bậc hai để giải:

1. Tìm nghiệm của phương trình bậc hai:

\[
60x^2 - 88x + 13 = 0
\]

Sử dụng công thức nghiệm:

\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{88 \pm \sqrt{(-88)^2 - 4 \cdot 60 \cdot 13}}{2 \cdot 60}
\]

Tính toán:

\[
\Delta = 7744 - 3120 = 4624
\]
\[
\sqrt{\Delta} = 68
\]

Vậy:

\[
x = \frac{88 \pm 68}{120}
\]

=> Hai nghiệm là:

\[
x_1 = \frac{156}{120} = \frac{13}{10}
\]
\[
x_2 = \frac{20}{120} = \frac{1}{6}
\]

2. Giải bất phương trình:

Bất phương trình có dạng:

\[
60x^2 - 88x + 13 > 0
\]

Nghiệm phân cực 1/6 và 13/10 phân tách miền thành ba phần: \((- \infty; \frac{1}{6})\), \((\frac{1}{6}, \frac{13}{10})\), và \((\frac{13}{10}, +\infty)\).

Ta kiểm tra từng khoảng:

- Chọn \(x = 0\) trong khoảng \((- \infty; \frac{1}{6})\):
\(60(0)^2 - 88(0) + 13 = 13 > 0\) (thỏa mãn).

- Chọn \(x = 1\) trong khoảng \((\frac{1}{6}, \frac{13}{10})\):
\(60(1)^2 - 88(1) + 13 = -15 < 0\) (không thỏa mãn).

- Chọn \(x = 2\) trong khoảng \((\frac{13}{10}, +\infty)\):
\(60(2)^2 - 88(2) + 13 = 13 > 0\) (thỏa mãn).

Vậy kết luận miền nghiệm của bất phương trình là:

\[
\boxed{(-\infty, \frac{1}{6}) \cup (\frac{13}{10}, +\infty)}
\]