Để giải quyết bài toán, ta sẽ thực hiện theo từng bước và đưa ra hình minh họa để dễ hiểu.

### Bước 1: Vẽ hình

- Ta có đoạn thẳng \( AB \) nằm trên tia \( OX \).
- Điểm \( O \) là gốc tọa độ, điểm \( A \) nằm tại \( 4cm \) và điểm \( B \) nằm tại \( 6cm \).
- \( M \) là trung điểm của đoạn \( OA \).

### Bước 2: Tính tọa độ và độ dài BM

- Tọa độ của \( O \) là \( 0cm \).
- Tọa độ của \( A \) là \( 4cm \).
- Tọa độ của \( B \) là \( 6cm \).

Tìm tọa độ của điểm \( M \):
- Vì \( M \) là trung điểm của đoạn \( OA \), ta có:
\[
M = \frac{OA}{2} = \frac{0 + 4}{2} = 2cm
\]

Bây giờ, ta sẽ tính độ dài \( BM \):
\[
BM = |B - M| = |6cm - 2cm| = 4cm
\]

### Đáp án cho phần a:
**Độ dài BM là:** \( 4cm \).

### Bước 3: Chứng minh điểm A là trung điểm của MB

Để chứng minh \( A \) là trung điểm của đoạn \( MB \), ta cần tìm tọa độ của điểm \( A \) và tính và so sánh với độ dài của đoạn \( MB \).

- Tọa độ của \( M \) là \( 2cm \) như đã tính ở trên.
- Tọa độ của \( B \) là \( 6cm \).

Tìm trung điểm của đoạn \( MB \):
\[
\text{Trung điểm của } MB = \frac{M + B}{2} = \frac{2 + 6}{2} = \frac{8}{2} = 4cm
\]
Ta thấy tọa độ của trung điểm \( MB \) trùng với tọa độ của \( A \) là \( 4cm \).

### Đáp án cho phần b:
**Điểm A là trung điểm của đoạn MB.**

### Kết luận
- Ta đã tính được độ dài \( BM = 4cm \) và chứng minh rằng điểm \( A \) là trung điểm của đoạn \( MB \).
- Hình minh họa có thể được vẽ như sau:

```
O ------- A ---------- M ---------- B
0cm 4cm 2cm 6cm
```

Tuy nhiên trên thực tế, vẽ hình sẽ tốt hơn để hình dung rõ hơn các điểm và đoạn thẳng.