Để chứng minh các yêu cầu trong bài toán, chúng ta sẽ tiến hành từng phần một cách cụ thể.

**a)** Chứng minh tứ giác DIEK là hình bình hành.

Ta sẽ sử dụng các tính chất đối xứng và vuông góc trong tam giác.

- D, E lần lượt nằm trên AB và AC và MD ⊥ AB, ME ⊥ AC.
- I là điểm đối xứng của D qua A, và K là điểm đối xứng của E qua M.

Theo định nghĩa về điểm đối xứng qua một điểm, ta có:
- Tọa độ I bằng A + (A - D) = 2A - D.
- Tọa độ K bằng M + (M - E) = 2M - E.

Để chứng minh DIEK là hình bình hành, ta cần chứng minh các cặp cạnh đối diện bằng nhau và song song.

- Từ D đến E, là cạnh của tứ giác, thì DE sẽ song song với IK, vì D và I đối xứng qua A, E và K cũng tương tự.
- Tính chất các đoạn I và K cũng cho thấy rằng DE = IK.

Vì vậy, DIEK là một hình bình hành.

---

**b)** Chứng minh ba đường thẳng IK, DE, AM giao nhau tại một điểm.

Đầu tiên, với tứ giác DIEK là hình bình hành, ta biết rằng DE // IK, nghĩa là chúng ta xét các đoạn thẳng AM:

- Gọi O là giao điểm của DE và IK.
- Nếu O nằm trên AM, ta có AM sẽ cắt cả DE và IK tại O.

Vì DE và IK song song và AM cắt hai đoạn thẳng đó, nên ba đường thẳng này sẽ giao nhau tại một điểm O.

---

**c)** Tìm vị trí M trên BC để tứ giác ADME là hình vuông.

Để ADME là hình vuông, ta cần:
1. MD = ME (điều này đảm bảo rằng các cạnh AD, AM vuông góc với nhau),
2. Đoạn AD cần bằng đoạn AM.

- Đổi lại, để tạo ra một hình vuông, SD phải là cạnh của hình vuông với M là điểm chính giữa (trung điểm) của đoạn BC, từ đó, MD = ME có thể đạt được.

Do đó, M cần nằm trên BC, mà sao cho khoảng cách MD và ME bẳng nhau, tức là M phải là trung điểm của đoạn BC.

---

**d)** Chứng minh A vuông góc với DE khi M là chân đường cao hạ từ A xuống BC, gọi J là trung điểm cạnh BC.

Khi M là chân đường cao, từ A đến BC, có nghĩa rằng MD và ME vuông góc với AB và AC.

- Vẽ đoạn thẳng AM, nó sẽ vuông góc với DE, vì DE là đoạn thẳng nối giữa các điểm D và E và nó có độ dài tối thiểu giữa hai điểm D, E.

Nói chung, khi M là điểm chân đường cao và điểm J tạo thành hình vuông, thì A, M, D, E tạo thành một góc vuông, tức Ạ vuông góc với DE.

---

Tóm lại, chúng ta đã chứng minh các yêu cầu và phương pháp để thực hiện các chứng minh cho từng phần trong bài toán hình học này.