Để chứng minh rằng \( 2n + 1 \) chia hết cho \( n - 5 \), ta sẽ thực hiện phép chia và tìm điều kiện để thương là một số nguyên.

Ta bắt đầu bằng cách thực hiện phép chia:

\[
2n + 1 = k(n - 5)
\]

trong đó \( k \) là thương. Mở rộng phương trình trên, ta có:

\[
2n + 1 = kn - 5k
\]

Chuyển tất cả các thành phần sang một bên, ta có:

\[
2n + 1 - kn + 5k = 0
\]

Gom nhóm lại ta có:

\[
(2 - k)n + (1 + 5k) = 0
\]

Từ đây, để phương trình trên có nghiệm với \( n \) là một số nguyên, thì hai hệ số \( (2 - k) \) và \( (1 + 5k) \) phải đồng thời bằng 0:

1. \( 2 - k = 0 \) (Điều kiện 1)
2. \( 1 + 5k = 0 \) (Điều kiện 2)

Giải điều kiện 1:

\[
k = 2
\]

Thay vào điều kiện 2:

\[
1 + 5(2) = 1 + 10 = 11 \neq 0
\]

Vậy, không có giá trị \( k \) nào làm cho cả hai điều kiện đồng thời bằng 0. Thay vào đó, phương trình cực kỳ đơn giản để tìm nghiệm cho mọi giá trị của \( n \).

Chúng ta cần chứng minh \( (2n + 1) \mod (n - 5) = 0 \).

Áp dụng phương pháp đồng dư, ta có:

\[
2n + 1 \equiv 0 \mod (n - 5)
\]

Tức là chúng ta phải chứng minh \( 2n + 1 = k(n - 5) \) cho một giá trị nguyên \( k \). Điều này tương đương với việc kiểm tra cụ thể cho một số giá trị của \( n\).

Với \( n = 5 \):

\[
2(5) + 1 = 10 + 1 = 11 \quad \text{và} \quad 5 - 5 = 0
\]

Rõ ràng \( 2n + 1 \) không chia hết cho \( n - 5 \) nếu \( n = 5 \).

Để quy nạp, ta thử một vài giá trị khác như:

Khi \( n = 6 \):

\[
2(6) + 1 = 12 + 1 = 13 \quad và \quad 6 - 5 = 1 \Longrightarrow 13 \mod 1 = 0 \text{ (chia hết)}
\]

Khi \( n = 7 \):

\[
2(7) + 1 = 14 + 1 = 15 \quad và \quad 7 - 5 = 2 \Longrightarrow 15 \mod 2 = 1 \text{ (không chia hết)}
\]

Có vẻ như chi tiết hơn còn cần một điều kiện tổng quát hơn để chia hết. Chúng ta cần thực hiện thêm các phép thử với số khác và tiếp tục tìm các giá trị khác cho k và n.

Tóm lại, đối với mỗi \( n \in \mathbb{N} \), kiểm tra từng trường hợp của \( n - 5 \) so với \( 2n + 1 \) cho kết quả đầu ra sẽ giải quyết được vấn đề. Tuy nhiên để chứng minh kỹ lưỡng nhiều trường hợp có thể và chia hết hay không cho nhiều giá trị khác giới hạn tìm số nguyên k mà ngoài các \( n \).

Như vậy, cần chủ yếu rút ra và xét kĩ lưỡng từng trường hợp cụ thể nếu cần.