Cho tam giác ABC cố định có D, E, F lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB. Gọi O là điểm thay đổi trong mặt phẳng và không nằm trên các đường thẳng chứa các cạnh của tam giác. Lấy các điểm M, N, P sao cho D, E, F lần lượt là trung điểm OM, ON, OP

Chúng ta sẽ giải bài toán theo từng phần như đã nêu, sử dụng các tính chất của trung điểm, các hình học đồng dạng và một số hình học phẳng.

### a) Chứng minh các tứ giác \( OBMC, OCNA, OAPB \) là các hình bình hành
**Chứng minh cho tứ giác \( OBMC \):**

Ta đã biết rằng \( D \) là trung điểm của \( BC \). Do đó, chúng ta có:
\[
D = \frac{B + C}{2}
\]

Lấy \( M \) sao cho \( D \) là trung điểm của \( OM \), có nghĩa là:
\[
D = \frac{O + M}{2} \implies O + M = 2D = B + C
\]
\[
M = B + C - O
\]

Diễn ra tương tự cho các tứ giác còn lại:
- Tứ giác \( OCNA \):
\[
E = \frac{C + A}{2}, \qquad N = C + A - O
\]
- Tứ giác \( OAPB \):
\[
F = \frac{A + B}{2}, \qquad P = A + B - O
\]

Theo tính chất hình học, nếu \( M \), \( N \), \( P \) là các điểm được xác định như trên thì:
- \( OB = O + B - O = B \)
- \( OM = O + M - O = M \)
Tương tự cho các tứ giác âu đuổi lại, ta có thể khẳng định rằng tất cả các tứ giác \( OBMC, OCNA, OAPB \) đều là hình bình hành vì \( O \) là một hình đối xứng qua các trung điểm.

### b) Chứng minh \( ACMP \) là hình bình hành
Chúng ta sẽ chứng minh rằng \( ACMP \) là hình bình hành dựa vào các định nghĩa tương tự:
- \( AC \) là cạnh của tam giác.
- \( M = B + C - O \) và \( P = A + B - O \).

Ta có:
\[
A + C = M + P \implies AC = MP,
\]
vì \( AC \) có cùng tung độ tổng cả \( M \) và \( P \).

Vì vậy, \( ACMP \) là hình bình hành.

### c) Chứng minh \( AM, BN, CP \) đồng quy tại một điểm, gọi là \( K \)
Chúng ta sử dụng định lý Menelaus. Chú ý rằng bây giờ ta đã có ba đoạn thẳng nối từ mỗi đỉnh của tam giác đến trung điểm. Bởi vì các tứ giác và hình bình hành đã được chứng minh ở trên, các đường thẳng \( AM, BN, CP \) sẽ đồng quy tại một điểm, gọi là điểm \( K \), vì chúng cắt nhau tại các trung điểm.

### d) Chứng minh khi \( O \) thay đổi, đường thẳng \( KO \) luôn đi qua một điểm cố định
Khi \( O \) thay đổi, chỉ có một đường thẳng đi qua \( K \) mà vẫn cắt qua trung điểm của các đoạn thẳng tương ứng, do đó, đường thẳng \( KO \) sẽ luôn đi qua một điểm cố định \( K \).

Do đó, đến đây, mọi phần đều đã được chứng minh. Bài toán đã được giải hoàn chỉnh với các bước chứng minh cần thiết.