Để giải phương trình

\[
\frac{x}{2(x - 3)} + \frac{x}{2(x + 1)} = \frac{2x}{(x + 1)(x - 3)},
\]

ta có thể quy đồng mẫu bên trái để đưa về cùng một mẫu số.

### Bước 1: Quy đồng mẫu phía bên trái

Mẫu số chung của hai phân số bên trái là \(2(x - 3)(x + 1)\). Ta viết lại các phân số:

\[
\frac{x}{2(x - 3)} = \frac{x(x + 1)}{2(x - 3)(x + 1)} \quad \text{và} \quad \frac{x}{2(x + 1)} = \frac{x(x - 3)}{2(x + 1)(x - 3)}.
\]

### Bước 2: Cộng các phân số

Cộng hai phân số phía bên trái:

\[
\frac{x(x + 1) + x(x - 3)}{2(x - 3)(x + 1)} = \frac{x^2 + x + x^2 - 3x}{2(x - 3)(x + 1)} = \frac{2x^2 - 2x}{2(x - 3)(x + 1)} = \frac{x^2 - x}{(x - 3)(x + 1)}.
\]

### Bước 3: Đặt lại phương trình

Giờ ta có phương trình trở thành:

\[
\frac{x^2 - x}{(x - 3)(x + 1)} = \frac{2x}{(x + 1)(x - 3)}.
\]

### Bước 4: Nhân chéo hai bên

Nhân chéo để loại bỏ mẫu số:

\[
(x^2 - x) \cdot (x + 1)(x - 3) = 2x \cdot (x + 1)(x - 3).
\]

Chúng ta nhận thấy mẫu số trùng nhau và có thể rút gọn, khi đó ta chỉ cần giải:

\[
x^2 - x = 2x.
\]

### Bước 5: Giải phương trình đại số

Chuyển tất cả về một bên:

\[
x^2 - x - 2x = 0 \quad \Rightarrow \quad x^2 - 3x = 0.
\]

Phân tích thành:

\[
x(x - 3) = 0.
\]

Vậy ta có hai nghiệm:

\[
x = 0 \quad \text{hoặc} \quad x = 3.
\]

### Bước 6: Kiểm tra các nghiệm

Tuy nhiên, ta cần kiểm tra các nghiệm này có thoả mãn điều kiện của mẫu không. Mẫu bị 0 nếu \(x + 1 = 0\) (tức là \(x = -1\)) hoặc \(x - 3 = 0\) (tức là \(x = 3\)). Nên \(x = 3\) không phải là một nghiệm hợp lệ.

Vậy nghiệm là:

\[
\boxed{0}.
\]

### Kết luận

Phương trình có nghiệm duy nhất là \(x = 0\).