Để chứng minh tứ giác \( ABCD \) là hình chữ nhật, ta sẽ sử dụng tính chất của vector và tọa độ trong mặt phẳng.

### a) Chứng minh \( ABCD \) là hình chữ nhật.

1. **Đặt tọa độ cho các điểm**:
- \( A(0, 0) \)
- \( B(a, 0) \) (với \( a > 0 \))
- \( C(0, b) \) (với \( b > 0 \))
- \( D(x_D, y_D) \)

2. **Tính tọa độ điểm M**:
- M là trung điểm của \( BC \):
\[
M\left(\frac{a}{2}, \frac{b}{2}\right)
\]

3. **Xác định tọa độ D**:
- Do \( MD = MA \) và \( D \) nằm trên tia đối của \( MA \), ta suy ra rằng tọa độ điểm \( D \) có thể tìm thấy bằng cách sử dụng tỉ số:
\[
MD = MA = \sqrt{\left(\frac{a}{2}\right)^2 + \left(\frac{b}{2}\right)^2} = \frac{1}{2}\sqrt{a^2 + b^2}
\]
- Tọa độ \( D \) thỏa mãn hệ thức:
\[
D\left( \frac{a}{2}, \frac{b}{2} + d \right) \quad (d < 0)
\]

4. **Sử dụng tính chất vuông góc**:
- \( AB \perp AD \) và \( AC \perp AD \) (vì là tứ giác vuông tại A).
- Do đó, \( AD \) có thể chứng minh bằng việc tính góc tại A.

5. **Chứng minh AB = CD và BC = AD**:
- Từ định nghĩa của tứ giác thì:
\[
AB = AC \cdots \text{(tính theo định nghĩa của tam giác vuông)}
\]
- Điểm \( D \) hình thành sao cho \( D \) đối xứng với \( M \) qua \( A \) tạo ra hai cạnh song song và bằng nhau.

Kết thúc chứng minh, ta thấy \( ABCD \) thoả mãn tất cả các tính chất để trở thành hình chữ nhật.

### b) Chọn điểm \( E \) sao cho \( E \) là trung điểm của \( AE \).

- Ta có \( E\left(\frac{a}{2}, \frac{b}{2}\right) \), chứng minh \( BEDC \) hình bình hành, tức \( BE = CD \) và \( BD = CE\).

### c) Chọn điểm \( K \) thuộc đoạn thẳng \( BD \) sao cho \( KD = 2BK \).

- Từ \( K \) thuộc \( BD \) có thể xác định bằng cách tính khoảng cách và dựng \( K\) tại nửa đoạn giữa \( B \) và \( D \).

Tổng quát, \( K \) được chọn sao cho tất cả các tính chất trên giữ được tính chất của hình chữ nhật và hình bình hành ở các tứ giác liên quan.