Để giải phương trình đã cho:

\[
\frac{x}{2x + 6} - \frac{x}{2x + 2} = \frac{3x + 2}{(x + 1)(x + 3)}
\]

Trước tiên, ta thực hiện rút gọn các phân thức bên trái. Chúng ta sẽ tìm mẫu số chung cho hai phân thức bên trái.

### Bước 1: Tìm mẫu số chung

Mẫu số chung của \(2x + 6\) và \(2x + 2\) là \( (2x + 6)(2x + 2) \).

### Bước 2: Viết lại phương trình với mẫu số chung

Khi viết lại phương trình với mẫu số chung, ta có:

\[
\frac{x(2x + 2) - x(2x + 6)}{(2x + 6)(2x + 2)} = \frac{3x + 2}{(x + 1)(x + 3)}
\]

### Bước 3: Rút gọn tử số

Tính tử số bên trái:

\[
x(2x + 2) - x(2x + 6) = x(2x + 2 - 2x - 6) = x(-4) = -4x
\]

Vậy phương trình trở thành:

\[
\frac{-4x}{(2x + 6)(2x + 2)} = \frac{3x + 2}{(x + 1)(x + 3)}
\]

### Bước 4: Nhân chéo

Nhân chéo hai bên phương trình, ta có:

\[
-4x (x + 1)(x + 3) = (3x + 2)(2x + 6)(2x + 2)
\]

### Bước 5: Đơn giản hóa

- Phát triển vế bên trái:

\[
-4x[(x + 1)(x + 3)] = -4x(x^2 + 4x + 3) = -4x^3 - 16x^2 - 12x
\]

- Về bên phải, ta cần phát triển \( (3x + 2)(2x + 6)(2x + 2) \):

Trước hết, phát triển \( (2x + 6)(2x + 2) \):

\[
(2x + 6)(2x + 2) = 4x^2 + 12x + 12
\]

Sau đó nhân với \( (3x + 2) \):

\[
(3x + 2)(4x^2 + 12x + 12) = 12x^3 + (36 + 8)x^2 + (36 + 24) = 12x^3 + 44x^2 + 72
\]

### Bước 6: So sánh và giải phương trình

Ta có phương trình:

\[
-4x^3 - 16x^2 - 12x = 12x^3 + 44x^2 + 72
\]

Chuyển tất cả sang một vế:

\[
-4x^3 - 12x^3 - 16x^2 - 44x^2 - 12x - 72 = 0
\]

Tức là:

\[
-16x^3 - 60x^2 - 12x - 72 = 0
\]

Chia cả phương trình cho -4:

\[
4x^3 + 15x^2 + 3x + 18 = 0
\]

### Bước 7: Tìm nghiệm

Sử dụng phương pháp thử nghiệm nghiệm nguyên hoặc phương pháp nghiệm số để tìm nghiệm.

### Kết luận

Cần phân tích thêm hoặc sử dụng các phương pháp số như Newton-Raphson, hoặc biểu thức cú pháp đối với việc tìm nghiệm chính xác cho phương trình bậc ba. Nếu cần, có thể sử dụng máy tính khoa học hoặc phần mềm giải phương trình bậc ba.