Để tìm tổng của tất cả các số nguyên thoả mãn các bất phương trình đã cho, ta sẽ xác định các khoảng và tính tổng cho từng khoảng.

1) \( -4 < x < 3 \):
- Các số nguyên: \( -3, -2, -1, 0, 1, 2 \)
- Tổng: \( -3 + -2 + -1 + 0 + 1 + 2 = -3 \)

2) \( -5 < x < 5 \):
- Các số nguyên: \( -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4 \)
- Tổng: \( -4 + -3 + -2 + -1 + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 = 0 \)

3) \( -10 < x < 6 \):
- Các số nguyên: \( -9, -8, -7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5 \)
- Tổng: \( -9 + -8 + -7 + -6 + -5 + -4 + -3 + -2 + -1 + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = -30 \)

4) \( -6 < x < 5 \):
- Các số nguyên: \( -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4 \)
- Tổng: \( -5 + -4 + -3 + -2 + -1 + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 = -5 \)

5) \( -5 < x < 2 \):
- Các số nguyên: \( -4, -3, -2, -1, 0, 1 \)
- Tổng: \( -4 + -3 + -2 + -1 + 0 + 1 = -9 \)

### Tính tổng tất cả các tổng:
- Tổng các tổng:
\[
-3 + 0 + (-30) + (-5) + (-9) = -47
\]

Vậy tổng của tất cả các số nguyên thoả mãn các bất phương trình là \( -47 \).