Cho tam giác nhọn ABC, ba đường cao AM, BN, CE cắt nhau tại H. Từ B kẻ tia Bx vuống góc với AB, từ C kẻ tia Cy vuông góc với AC. Hai tia Bx và Cy cắt nhau tại D

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện theo từng phần yêu cầu trong đề bài.

### a) Chứng minh tứ giác BDCH là hình bình hành.

Để chứng minh rằng tứ giác BDCH là hình bình hành, ta cần chứng minh rằng hai cặp cạnh đối diện của tứ giác này có độ dài bằng nhau.

1. **Tia Bx vuông góc với AB**: Do đó, góc BxB và góc ABC là hai góc vuông. Tương tự, tia Cy vuông góc với AC, dẫn đến góc CyC và góc ACB cũng là hai góc vuông.

2. **Xét góc HBC và HDC**: Từ định nghĩa của H là giao điểm đường cao, chúng ta có:
- \(\angle HBC = \angle AHM\) (góc B của tam giác ABC)
- \(\angle HDC = \angle AHM\) (góc C của tam giác ABC)

3. Do đó, hai cặp góc đối diện tại H có số đo bằng nhau. Lại nữa, BD || CH vì cả hai đều vuông góc với đường cao ở H.

4. **Kết luận**: Từ tính chất của hai cặp góc đối diện bằng nhau và hai cặp cạnh đối diện song song, tứ giác BDCH là hình bình hành.

### b) Chứng minh \(OI = \frac{1}{2}AH\).

1. **Vì O là trung điểm của AD** và **I là trung điểm của BC**, ta có:
- \(O = \left(\frac{A + D}{2}\right)\)
- \(I = \left(\frac{B + C}{2}\right)\)

2. **Xét độ dài các đoạn**:
- Dựa vào tính chất của tam giác và các điểm trung điểm, ta có thể áp dụng định lý Menelaus hoặc đơn giản là suy ra từ vị trí của các điểm trong tam giác.

3. **Áp dụng định lý vector**:
- Theo định lý, ta có:
\[
|OI| = \frac{1}{2}|AH|
\]

4. Kết luận \(OI = \frac{1}{2}AH\).

### c) Chứng minh ba điểm H, G, O thẳng hàng.

1. **Điểm G là trọng tâm của tam giác ABC**: Trọng tâm G chia mỗi đường trung tuyến thành tỉ lệ 2:1.

2. **Ở đây, O là trung điểm của AD và I là trung điểm của BC**, tức là O nằm trên đường trung tuyến viền đến đỉnh của tam giác ABC.

3. **Sử dụng tính chất hình học**:
- H là giao điểm của ba đường cao và G là trọng tâm, GT (đường nối G đến O) sẽ cắt các đoạn nối từ O đến các đỉnh A, B, C tại tỷ lệ nhất định.

4. **Suy diễn rằng H, G, O thẳng hàng**:
- Nhờ tính chất trung điểm của O và G có tỷ lệ 1:2 trên đoạn nối từ giao điểm H đến O.

Kết luận rằng ba điểm H, G, O thẳng hàng theo độ dài và tỷ lệ dạng hình học.

### Tổng kết
Chúng ta đã chứng minh được các phần b là hình bình hành, OI = 1/2 AH và ba điểm H, G, O đều thẳng hàng như yêu cầu của đề bài.