Để tính biểu thức \( 5 + 5^3 + 5^5 + \ldots + 5^{975} + 5^3 + 5^5 + \ldots + 5^{97} \), chúng ta sẽ phân tích rõ hơn các thành phần và số hạng trong biểu thức này.

### Bước 1: Tính tổng \( 5 + 5^3 + 5^5 + \ldots + 5^{975} \)

Đầu tiên, ta cần xác định số hạng và công thức tổng của dãy số này. Ta nhận thấy dãy số \( 5^1, 5^3, 5^5, \ldots, 5^{975} \) là một dãy số hình học với:

- Hạng đầu \( a = 5^1 = 5 \)
- Công bội \( r = 5^2 = 25 \)

Đếm số hạng trong dãy số này:

**Số hạng:** Các số mũ tăng dần từ 1 đến 975 với bước nhảy là 2.

Ta có thể tìm số hạng cuối:

- Mũ đầu tiên là 1 (mũ lẻ), mũ cuối cùng là 975 thì số hạng là:
\[
n = \frac{975 - 1}{2} + 1 = \frac{974}{2} + 1 = 487 + 1 = 488
\]

### Công thức tổng của dãy số hình học

Tổng của dãy hình học được tính theo công thức:
\[
S_n = a \frac{r^n - 1}{r - 1}
\]
Trong đó:
- \( a = 5 \)
- \( r = 25 \)
- \( n = 488 \)

Thay vào công thức, ta có:
\[
S_1 = 5 \frac{25^{488} - 1}{25 - 1}
\]

### Bước 2: Tính tổng \( 5^3 + 5^5 + \ldots + 5^{97} \)

Dãy số này cũng là một dãy hình học với:

- Hạng đầu \( a = 5^3 \)
- Công bội \( r = 5^2 = 25 \)

**Số hạng:** Từ 3 đến 97 (mũ lẻ) với bước nhảy là 2, nên tính số hạng tương tự ta có:

Mũ đầu tiên là 3 và cuối cùng là 97:
\[
n = \frac{97 - 3}{2} + 1 = \frac{94}{2} + 1 = 47 + 1 = 48
\]

### Tổng của dãy số này:

\[
S_2 = 5^3 \frac{25^{48} - 1}{25 - 1}
\]
Thay \( a = 5^3 \), \( n = 48 \):
\[
S_2 = 125 \frac{25^{48} - 1}{24}
\]

### Bước 3: Tổng lại cả hai

Tổng cuối cùng của biểu thức là:
\[
S = S_1 + S_2 = 5 \frac{25^{488} - 1}{24} + 125 \frac{25^{48} - 1}{24}
\]

Gộp lại chúng ta có:
\[
S = \frac{5(25^{488} - 1) + 125(25^{48} - 1)}{24}
\]

### Đáp án cuối cùng

Do kết quả rườm rà, thường không làm bài tính chính xác từng phần, nhưng biểu thức trên là cách để viết kết quả cho tổng của dãy đã cho.

**Kết luận:** Kết quả cuối cùng được biểu diễn dạng tổng tông cho \( S \).