Để chứng tỏ \( AD \parallel CG \), ta sẽ sử dụng quy tắc về tổng các góc trong một hình thang.

Có thể thấy rằng:

- \( \angle ABC = 130^\circ \)
- \( \angle CBA = 40^\circ \)
- \( \angle BAE = 50^\circ \)

Tổng các góc trong tam giác \( ABC \):

\[
\angle ABC + \angle BCA + \angle CAB = 180^\circ
\]

Ta có thể tìm góc \( \angle BCA \):

\[
130^\circ + 40^\circ + \angle CAB = 180^\circ
\]

Từ đó suy ra:

\[
\angle CAB = 180^\circ - 130^\circ - 40^\circ = 10^\circ
\]

Tiếp theo, xét tổng các góc tại điểm \( B \):

\[
\angle ABE + \angle ABC + \angle CBA = 180^\circ
\]

Thay giá trị các góc vào:

\[
\angle ABE + 130^\circ + 40^\circ = 180^\circ
\]

Từ đó suy ra:

\[
\angle ABE = 180^\circ - 130^\circ - 40^\circ = 10^\circ
\]

Vì \( \angle CAB = \angle ABE \) và chúng đều bằng \( 10^\circ \), theo định lý về các đường thẳng song song:

\[
AD \parallel CG
\]

Vậy chúng ta đã chứng minh được \( AD \parallel CG \).