Từ 1 điểm A nằm ngoài đường tròn (O; R) vẽ hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn. Đường thẳng vuông góc với OB tại O cắt AC tại N

Để chứng minh rằng tứ giác AMON là hình thoi, ta sẽ tiến hành các bước sau:

### a) Chứng minh tứ giác AMON là hình thoi

1. **Nhận định:**
- A là điểm nằm ngoài đường tròn (O; R).
- AB và AC là hai tiếp tuyến từ điểm A đến đường tròn.
- B và C là các tiếp điểm với đường tròn.

2. **Đặc điểm của tiếp tuyến:**
- Từ tính chất của tiếp tuyến, ta có:
- \( OA \perp AB \)
- \( OA \perp AC \)

Do đó, \( \angle OAB = \angle OAC = 90^\circ \).

3. **Chứng minh \( ON \) và \( OM \) cùng chung độ dài:**
- Từ tam giác vuông OAN và OAM:
- \( OA^2 = ON^2 + AN^2 \)
- \( OA^2 = OM^2 + AM^2 \)
- Khi AB = AC (vì là tiếp tuyến):
- \( AN = AM \)

4. **Xét chiều dài:**
- Nếu \( ON = OM \) và \( AN = AM \), thì ta có \( AM = AN \) và \( ON = OM \).

5. **Kết luận:**
- Tứ giác AMON có hai cạnh đối đỉnh bằng nhau và kích thước hình chính xác, do đó AMON là hình thoi.

### b) Điểm A cách O một khoảng bao nhiêu để MN là tiếp tuyến của đường tròn O

Để MN là tiếp tuyến với đường tròn O, ta cần:

- **Chứng minh**:
- Đoạn MN vuông góc với bán kính tại điểm tiếp xúc.
- Đoạn AN và AM sẽ phải bằng nhau.

Để tìm khoảng cách, ta dùng định lý Pytago trong tam giác OAN hoặc OAM, trọng tâm là thỏa mãn điều kiện vuông góc ở O.

Khoảng cách cụ thể sẽ phụ thuộc vào bán kính R của đường tròn và khoảng cách OA theo công thức:

\[
OA^2 = R^2 + d^2
\]

Trong đó, d là khoảng cách từ O tới MN.

### Kết luận
1. Tứ giác AMON là hình thoi.
2. Khoảng cách từ A đến O sẽ phụ thuộc vào mức độ của MN với đường tròn, và được tìm theo hệ thức tương tự.