Để giải bài toán này, ta cần xác định vị trí của các điểm trong hình chóp \( S.ABC \) và tính toán tỉ số \( \frac{AC}{CK} \) theo các dữ kiện đã cho.

### Bước 1: Thiết lập hệ tọa độ
Giả sử:
- Đỉnh \( S \) ở tọa độ \( (0, 0, h) \) (với \( h \) là chiều cao của chóp),
- Điểm \( A \) ở \( (a, 0, 0) \),
- Điểm \( B \) ở \( (0, b, 0) \),
- Điểm \( C \) ở \( (c, 0, 0) \).

### Bước 2: Xác định tọa độ của các điểm M và N
1. **Điểm M** trên cạnh \( SA \):
\( MA = 5MF \) có nghĩa là tỉ lệ chia \( SM:MA = 1:5 \).
Tọa độ của \( M \) có thể được tính như sau:
\[
M = \frac{1}{6}S + \frac{5}{6}A = \left( \frac{1}{6} \cdot 0 + \frac{5}{6} \cdot a, 0, \frac{1}{6}h + 0 \right) = \left( \frac{5a}{6}, 0, \frac{h}{6} \right)
\]

2. **Điểm N** trên cạnh \( SC \):
\( NS = 3NC \) có nghĩa là tỉ lệ chia \( SN:NC = 3:1 \).
Tọa độ của \( N \) là:
\[
N = \frac{3}{4}S + \frac{1}{4}C = \left( \frac{3}{4} \cdot 0 + \frac{1}{4} \cdot c, 0, \frac{3}{4}h + 0 \right) = \left( \frac{c}{4}, 0, \frac{3h}{4} \right)
\]

### Bước 3: Xác định phương trình đường MN
Hai điểm \( M \) và \( N \) có tọa độ \( M = \left( \frac{5a}{6}, 0, \frac{h}{6} \right) \) và \( N = \left( \frac{c}{4}, 0, \frac{3h}{4} \right) \).

Phương trình đường thẳng \( MN \) có thể được biểu diễn thông qua tham số \( t \):
\[
MN: \begin{cases}
x = \frac{5a}{6} + \left( \frac{c}{4} - \frac{5a}{6} \right)t \\
y = 0 \\
z = \frac{h}{6} + \left( \frac{3h}{4} - \frac{h}{6} \right)t
\end{cases}
\]
Tính toán phần \( z \):
\[
\frac{3h}{4} - \frac{h}{6} = \frac{9h - 2h}{12} = \frac{7h}{12}
\]

### Bước 4: Xác định phương trình đường AC
Phương trình đường thẳng \( AC \) từ điểm \( A \) đến điểm \( C \):
\[
AC: \begin{cases}
x = a + (c - a)s \\
y = 0 \\
z = 0
\end{cases}
\]

### Bước 5: Tìm giao điểm K của MN và AC
Để \( MN \) và \( AC \) giao nhau tại điểm \( K \), ta cần \( z_{MN} = 0 \). Từ tham số t trong phương trình MN:
\[
\frac{h}{6} + \frac{7h}{12}t = 0
\]
Giải phương trình này để tìm giá trị \( t \).

### Bước 6: Tính vào tỉ số \( \frac{AC}{CK} \)
Sau khi có tọa độ \( K \), ta tính độ dài \( AC \) và độ dài \( CK \):
- \( AC = || A - C || \)
- \( CK = || C - K || \)

Cuối cùng, tỉ số \( \frac{AC}{CK} \) được tìm bằng cách chia độ dài \( AC \) cho \( CK \).

### Kết luận
Kết quả tỉ số sẽ cho ra được một con số cụ thể tùy thuộc vào các thông số a, c mà bạn dùng trong quá trình tính toán.