Để hệ phương trình có nghiệm duy nhất, điều kiện là định thức của ma trận hệ số phải khác 0.

Hệ phương trình đã cho là:
1. \( mx + 2y = m + 1 \)
2. \( 2x + my = 2m - 1 \)

Chúng ta có thể viết hệ phương trình này dưới dạng ma trận:
\[
\begin{pmatrix}
m & 2 \\
2 & m
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x \\
y
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
m + 1 \\
2m - 1
\end{pmatrix}
\]

Định thức của ma trận hệ số là:
\[
D = m \cdot m - 2 \cdot 2 = m^2 - 4
\]

Để hệ phương trình có nghiệm duy nhất, ta cần:
\[
D \neq 0 \implies m^2 - 4 \neq 0 \implies m^2 \neq 4 \implies m \neq 2 \text{ và } m \neq -2
\]

### Tìm m sao cho hệ phương trình có nghiệm (2,1)

Để tìm giá trị \( m \) sao cho hệ phương trình có nghiệm là \( (2, 1) \), ta thay \( x = 2 \) và \( y = 1 \) vào hai phương trình:

1. Phương trình thứ nhất:
\[
m \cdot 2 + 2 \cdot 1 = m + 1 \implies 2m + 2 = m + 1 \implies 2m - m + 2 - 1 = 0 \implies m + 1 = 0 \implies m = -1
\]

2. Phương trình thứ hai:
\[
2 \cdot 2 + m \cdot 1 = 2m - 1 \implies 4 + m = 2m - 1 \implies 4 + 1 = 2m - m \implies 5 = m
\]

Vì phương trình thứ nhất cho \( m = -1 \) và phương trình thứ hai cho \( m = 5 \), nên không có giá trị \( m \) thỏa mãn tổng thể.

Tóm lại, để có nghiệm duy nhất, \( m \) phải khác 2 và -2. Còn để hệ phương trình có nghiệm cụ thể là (2, 1), không có giá trị hợp lệ cho \( m \).