Để tính bán kính của đường tròn đi qua ba điểm \( A, B, C \) thuộc tam giác vuông \( ABC \) với \( AB = 3 \) cm và \( AC = 4 \) cm, ta làm theo các bước sau:

1. **Tính cạnh huyền \( BC \)**:
\[
BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \text{ cm}
\]

2. **Sử dụng công thức tính bán kính \( R \) của đường tròn ngoại tiếp tam giác**:
\[
R = \frac{abc}{4S}
\]
Trong đó:
- \( a = BC = 5 \) cm
- \( b = AC = 4 \) cm
- \( c = AB = 3 \) cm

Diện tích \( S \) của tam giác vuông \( ABC \) là:
\[
S = \frac{1}{2} \times AB \times AC = \frac{1}{2} \times 3 \times 4 = 6 \text{ cm}^2
\]

3. **Tính bán kính \( R \)**:
\[
R = \frac{5 \times 4 \times 3}{4 \times 6} = \frac{60}{24} = 2.5 \text{ cm}
\]

Vậy bán kính của đường tròn đi qua ba điểm \( A, B, C \) là \( 2.5 \) cm.