Để mỗi phân thức xác định, ta cần tìm điều kiện mà mẫu số của mỗi phân thức khác 0. Dưới đây là điều kiện cho từng phân thức:

a) \(\frac{x}{x^2 - 3}\):

Mẫu số: \(x^2 - 3 \neq 0 \)
=> \(x^2 \neq 3\)
=> \(x \neq \sqrt{3}\) và \(x \neq -\sqrt{3}\)

b) \(\frac{3x - 1}{x^2 + 4}\):

Mẫu số: \(x^2 + 4 \neq 0\)

Biểu thức này luôn dương với mọi \(x\) (do \(x^2 \geq 0\)), nên không có điều kiện nào cần thiết.

c) \(\frac{x - 1}{x^2 + x - 12}\):

Mẫu số: \(x^2 + x - 12 \neq 0\)

Giải phương trình bậc hai:
\(x^2 + x - 12 = 0\)
=> \( (x - 3)(x + 4) = 0 \)
=> \( x \neq 3 \) và \( x \neq -4 \)

d) \(\frac{x^2 - 4}{x^2 + x + \frac{1}{2}}\):

Mẫu số: \(x^2 + x + \frac{1}{2} \neq 0\)

Xét \(x^2 + x + \frac{1}{2}\) là một phương trình bậc hai. Tính delta:
\(\Delta = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot \frac{1}{2} = 1 - 2 = -1\)

Vì delta âm, nên phương trình này không có nghiệm thực, tức là \(x^2 + x + \frac{1}{2} > 0\) với mọi \(x\), không cần điều kiện.

Tóm lại, điều kiện là:
- a) \(x \neq \sqrt{3}\) và \(x \neq -\sqrt{3}\)
- b) Không có điều kiện
- c) \(x \neq 3\) và \(x \neq -4\)
- d) Không có điều kiện

Hy vọng điều này giúp được bạn!