Cho tam giác ABC có H là trực tâm.Các đường thẳng vuông góc với AB tại B, vuông góc với AC tại C cắt nhau ở E. Chứng minh BECH là hình bình hành

Để chứng minh rằng tứ giác BECH là hình bình hành trong tam giác ABC với H là trực tâm, ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. **Định nghĩa và tính chất**: Trong tam giác ABC, H là trực tâm, có nghĩa là AH, BH, CH lần lượt là các đường cao của tam giác. Do H là trực tâm, các đường thẳng BH và CH sẽ vuông góc với các cạnh AC và AB tương ứng.

2. **Xác định các điểm**:
- E là điểm giao nhau của đường thẳng vuông góc với AB tại B và đường thẳng vuông góc với AC tại C.

3. **Chứng minh BE // CH và EC // BH**:
- Ta có:
- Vì BH là đường cao ứng với cạnh AC, nên BH ⊥ AC.
- Vì CH là đường cao ứng với cạnh AB, nên CH ⊥ AB.
- Do đó, do đặc tính của góc vuông:
- Tam giác BHC là tam giác vuông tại H, suy ra ∠BHC = 90°.
- Tam giác BEC cũng vuông tại E (vì BE ⊥ AC và CE ⊥ AB).

4. **Tính chất hình bình hành**:
- Theo định nghĩa, một tứ giác là hình bình hành nếu hai cặp cạnh đối diện song song và có cùng độ dài.
- Xét phương trình:
- BE // CH và EC // BH đã được thiết lập từ từng cặp gốc tam giác vuông.
- Hơn nữa, độ dài BE = HC và độ dài EC = BH vì chúng là đường cao trong tam giác.

5. **Kết luận**:
- Vì BE // CH và EC // BH, đồng thời độ dài của các cạnh BE, HC và EC, BH là bằng nhau. Suy ra tứ giác BECH là hình bình hành.

Vậy ta đã chứng minh rằng tứ giác BECH là hình bình hành.