Cho đường tròn (O; 6,5 cm) với đường kính AB. Điểm M nằm trên đường thẳng AB sao cho AM = 4cm. Qua M, vẽ CD⊥AB . Diện tích tam giác BCD bằng bao nhiêu?

Đầu tiên, ta xác định các thông tin đã cho trong bài toán:

- Đường tròn (O) có bán kính \( r = 6,5 \) cm, nên đường kính \( AB = 2r = 13 \) cm.
- Gọi \( O \) là trung điểm của đoạn thẳng \( AB \). Do đó, \( OA = OB = 6,5 \) cm.
- Điểm \( M \) trên đường thẳng \( AB \) sao cho \( AM = 4 \) cm.

Vậy, từ \( A \) đến \( M \) là 4 cm, và từ \( A \) đến \( O \) là 6,5 cm, nên:

\[
OM = OA - AM = 6,5 - 4 = 2,5 \text{ cm}.
\]

Từ \( M \), ta vẽ đường thẳng \( CD \) vuông góc với \( AB \). Vì \( O \) là trung điểm của \( AB \) và \( CD \) là đường cao từ \( M \) đến \( BD \), vị trí của \( C \) và \( D \) trên đường tròn sẽ nằm ở hai phía đối xứng qua \( AB \).

- Để tính khoảng cách \( MC \) (hoặc \( MD \)), ta dùng định lý Pythagore trong tam giác vuông \( OMC \):

\[
OC^2 = OM^2 + MC^2.
\]

Do \( OC \) chính là bán kính của đường tròn \( (O) \), ta có:

\[
(6,5)^2 = (2,5)^2 + MC^2.
\]

Tính:

\[
42,25 = 6,25 + MC^2 \\
MC^2 = 42,25 - 6,25 = 36 \\
MC = 6 \text{ cm}.
\]

Vì vậy, chiều cao \( h \) của tam giác \( BCD \) (tức là chiều cao từ \( M \) đến đường thẳng \( CD \)) bằng \( MC = 6 \) cm.

- Để tính diện tích tam giác \( BCD \), ta cần chiều dài đáy \( BD \). Vì \( BC \) và \( AD \) đối xứng nhau qua \( M \), mà \( AB = 13 \) cm thi:

- Chiều dài đoạn thẳng \( BD = AM + MD = AM + MC = 4 + 6 = 10 \) cm.

Cuối cùng, ta có công thức tính diện tích tam giác:

\[
S = \frac{1}{2} \cdot \text{đáy} \cdot \text{chiều cao} = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 6 = 30 \text{ cm}^2.
\]

Vậy diện tích tam giác \( BCD \) là \( 30 \text{ cm}^2 \).