So sánh P và \( \frac{1}{3} \) biết: \( P = \frac{1}{2^2} + \frac{1}{2^4} + \frac{1}{2^6} + \ldots + \frac{1}{2^{2023}} \)

Để so sánh \( P \) và \( \frac{1}{3} \), trước tiên chúng ta sẽ tính giá trị của \( P \).

Biểu thức \( P \) được định nghĩa như sau:

\[
P = \frac{1}{2^2} + \frac{1}{2^4} + \frac{1}{2^6} + \ldots + \frac{1}{2^{2023}}
\]

Đây là một cấp số nhân với số hạng đầu tiên là \( a = \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4} \) và tỷ lệ chung \( r = \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4} \).

Số hạng cuối cùng là \( n \) với \( 2n = 2023 \) nên \( n = \frac{2023}{2} = 1011.5 \). Hoặc là, tính đến số hạng \( 1012 \) (hạng số 1012 là \( 2^{2024} \)), ta có công thức và số hạng trong \( P \) như sau:

Số hạng có chỉ số \( j \) trong \( P \) chính là:

\[
P = \sum_{k=1}^{1011} \left(\frac{1}{2^{2k}}\right)
\]

Công thức tổng của một cấp số nhân là:

\[
S_n = a \frac{1 - r^n}{1 - r}
\]

Ở đây, \( n = 1012 \), \( a = \frac{1}{4} \), và \( r = \frac{1}{4} \):

\[
P = \frac{1/4 \cdot (1 - (1/4)^{1012})}{1 - 1/4} = \frac{1/4 \cdot (1 - (1/4)^{1012})}{3/4} = \frac{1 - (1/4)^{1012}}{3}
\]

Do đó, ta có:

\[
P = \frac{1}{3} \left( 1 - \left(\frac{1}{4}\right)^{1012} \right)
\]

Khai thác biểu thức trên, ta có:

\[
P = \frac{1}{3} - \frac{1}{3} \cdot \left(\frac{1}{4}\right)^{1012}
\]

Rõ ràng rằng:

\[
P < \frac{1}{3} \quad \text{(bởi vì \( \left( \frac{1}{4} \right)^{1012} > 0 \))}
\]

Kết luận là:

\[
P < \frac{1}{3}
\]