Để giải phương trình

\[
\left( x - \frac{1}{2} \right)^2 - \frac{2}{3} = -\frac{5}{48},
\]

ta làm như sau:

1. **Chuyển vế**:
\[
\left( x - \frac{1}{2} \right)^2 = -\frac{5}{48} + \frac{2}{3}.
\]

2. **Tính \(\frac{2}{3}\) thành mẫu số 48**:
\[
\frac{2}{3} = \frac{2 \times 16}{3 \times 16} = \frac{32}{48}.
\]

3. **Thay vào phương trình**:
\[
\left( x - \frac{1}{2} \right)^2 = -\frac{5}{48} + \frac{32}{48} = \frac{27}{48}.
\]

4. **Rút gọn \(\frac{27}{48}\)**:
\[
\frac{27}{48} = \frac{9}{16}.
\]

5. **Lấy căn hai**:
\[
x - \frac{1}{2} = \pm \sqrt{\frac{9}{16}}.
\]
\[
x - \frac{1}{2} = \pm \frac{3}{4}.
\]

6. **Giải hai trường hợp**:
- **Trường hợp 1**:
\[
x - \frac{1}{2} = \frac{3}{4} \implies x = \frac{3}{4} + \frac{1}{2} = \frac{3}{4} + \frac{2}{4} = \frac{5}{4}.
\]

- **Trường hợp 2**:
\[
x - \frac{1}{2} = -\frac{3}{4} \implies x = -\frac{3}{4} + \frac{1}{2} = -\frac{3}{4} + \frac{2}{4} = -\frac{1}{4}.
\]

7. **Kết quả cuối cùng**:
\[
x = \frac{5}{4} \quad \text{hoặc} \quad x = -\frac{1}{4}.
\]

Vậy nghiệm của phương trình là \( x = \frac{5}{4} \) và \( x = -\frac{1}{4} \).