Để tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \( 3x - 2x^2 + 7 \), chúng ta sẽ làm theo các bước sau:

1. **Xác định hàm số:** Gọi \( f(x) = 3x - 2x^2 + 7 \).

2. **Tính đạo hàm:** Tính đạo hàm của hàm số \( f(x) \):
\[
f'(x) = 3 - 4x
\]

3. **Tìm giá trị của \( x \) tại điểm cực trị:** Để tìm điểm cực trị, đặt đạo hàm bằng 0:
\[
3 - 4x = 0 \implies 4x = 3 \implies x = \frac{3}{4}
\]

4. **Xác định loại cực trị:** Tính đạo hàm bậc hai để xác định tính chất của điểm cực trị:
\[
f''(x) = -4
\]
Vì \( f''(x) < 0 \), điểm \( x = \frac{3}{4} \) là điểm cực đại.

5. **Tính giá trị cực đại:** Thay \( x = \frac{3}{4} \) vào hàm \( f \) để tìm giá trị lớn nhất:
\[
f\left(\frac{3}{4}\right) = 3\left(\frac{3}{4}\right) - 2\left(\frac{3}{4}\right)^2 + 7
\]
Tính từng thành phần:
\[
= \frac{9}{4} - 2\left(\frac{9}{16}\right) + 7 = \frac{9}{4} - \frac{18}{16} + 7
\]
Chuyển sang mẫu số chung:
\[
= \frac{9}{4} - \frac{9}{8} + 7 = \frac{18}{8} - \frac{9}{8} + 7 = \frac{9}{8} + 7 = \frac{9}{8} + \frac{56}{8} = \frac{65}{8}
\]

6. **Kết luận:** Giá trị lớn nhất của biểu thức \( 3x - 2x^2 + 7 \) là \( \frac{65}{8} \).