Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 3x - 2x^2 + 7

Để tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(f(x) = 3x - 2x^2 + 7\), chúng ta sẽ sử dụng phương pháp đạo hàm.

Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số.

\[
f'(x) = \frac{d}{dx}(3x - 2x^2 + 7) = 3 - 4x
\]

Bước 2: Tìm điểm cực trị bằng cách giải phương trình đạo hàm bằng 0.

\[
3 - 4x = 0
\]

Giải phương trình này:

\[
4x = 3 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{3}{4}
\]

Bước 3: Kiểm tra xem điểm \(x = \frac{3}{4}\) là điểm cực đại hay cực tiểu. Để làm điều này, ta tính đạo hàm bậc hai của hàm số.

\[
f''(x) = -4
\]

Bởi vì \(f''(x) < 0\), hàm số có cực đại tại \(x = \frac{3}{4}\).

Bước 4: Tính giá trị của hàm số tại điểm cực đại.

\[
f\left(\frac{3}{4}\right) = 3\left(\frac{3}{4}\right) - 2\left(\frac{3}{4}\right)^2 + 7
\]

Tính từng phần:

\[
f\left(\frac{3}{4}\right) = \frac{9}{4} - 2 \cdot \frac{9}{16} + 7
\]
\[
= \frac{9}{4} - \frac{18}{16} + 7
\]
\[
= \frac{9}{4} - \frac{9}{8} + 7
\]

Chuyển đổi tất cả các số hạng về cùng mẫu số là 8:

\[
= \frac{18}{8} - \frac{9}{8} + \frac{56}{8} = \frac{18 - 9 + 56}{8} = \frac{65}{8}
\]

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức \(3x - 2x^2 + 7\) là:

\[
\frac{65}{8}
\]