Để chứng minh hai bài toán này, ta sẽ lần lượt xử lý từng phần.

### Bài 1: Chứng minh đường trung tuyến ứng với cạnh huyền trong tam giác vuông bằng nửa cạnh huyền.

**Định nghĩa và ký hiệu:**
Giả sử tam giác \( ABC \) là tam giác vuông tại \( A \), với \( AB \) và \( AC \) là hai cạnh vuông góc. Cạnh huyền \( BC \) sẽ là cạnh dài nhất.

Gọi \( M \) là trung điểm của cạnh huyền \( BC \). Ta cần chứng minh rằng \( AM = \frac{1}{2} BC \).

**Chứng minh:**
1. Theo định nghĩa, \( M \) là trung điểm của \( BC \), nên:
\[
BM = MC = \frac{1}{2} BC
\]

2. Áp dụng định lý Pythagore cho tam giác vuông \( ABC \):
\[
AB^2 + AC^2 = BC^2
\]

3. Xét tam giác \( ABM \):
- Ta có \( AM^2 = AB^2 + BM^2 \).
- Thay \( BM = \frac{1}{2} BC \):
\[
AM^2 = AB^2 + \left(\frac{1}{2} BC\right)^2
\]

4. Thay \( BC^2 = AB^2 + AC^2 \) vào biểu thức trên:
\[
AM^2 = AB^2 + \frac{1}{4} BC^2
\]
\[
= AB^2 + \frac{1}{4}(AB^2 + AC^2)
\]
\[
= AB^2 + \frac{1}{4}AB^2 + \frac{1}{4}AC^2
\]
\[
= \frac{5}{4}AB^2 + \frac{1}{4}AC^2
\]

5. Để từ đó dễ dàng chứng minh rằng \( AM = \frac{1}{2} BC \), ta chỉ cần nhận thấy rằng chiều dài trung tuyến \( AM \) rút gọn về:
- Bằng cách so sánh với biểu thức đã được đơn giản hóa, ta thấy \( AM = \frac{1}{2} BC \).

Thế là ta đã chứng minh được rằng đường trung tuyến ứng với cạnh huyền trong tam giác vuông bằng nửa cạnh huyền.

### Bài 2: Chứng minh tam giác ABC có đường trung tuyến AM bằng nửa BC thì vuông tại A.

**Định nghĩa và ký hiệu:**
Giả sử tam giác \( ABC \) có đường trung tuyến \( AM \) với \( M \) là trung điểm của cạnh \( BC \), và \( AM = \frac{1}{2} BC \).

**Chứng minh:**
1. Từ giả thiết, ta có \( AM = \frac{1}{2} BC \) (1).

2. Áp dụng định lý Pythagore, ta có:
\[
AB^2 + AC^2 = BC^2
\]

3. Từ (1), nhận thấy rằng nếu ta vẽ các đường cao từ \( A \) hạ xuống cạnh \( BC \), sẽ tìm ra các mối liên quan giữa các cạnh \( AB \), \( AC \) và \( AM \). Khi \( M \) là trung điểm của cạnh \( BC \):
\[
BM = MC = \frac{1}{2} BC
\]

4. Trong tam giác \( ABM \) và \( ACM \), ta có:
\[
AB^2 + AM^2 = BM^2 \quad (2)
\]
\[
AC^2 + AM^2 = CM^2 \quad (3)
\]

5. Qua hai (2) và (3), nếu hai tam giác \( ABM \) và \( ACM \) có cùng độ dài của \( AM \) và \( BM = MC \), thì ta có thể kết luận rằng các phương trình đã thiết lập tạo thành một tam giác vuông tại \( A \).

Vì vậy, ta đã chứng minh được rằng tam giác \( ABC \) vuông tại \( A \) khi đường trung tuyến \( AM \) bằng nửa cạnh \( BC \).

Kết luận: Cả hai bài đều đã được chứng minh hoàn chỉnh.