Để chứng minh tứ giác ABCD là hình bình hành, ta sẽ sử dụng các tính chất về trung điểm và vectơ.

1. **Ký hiệu các điểm**:
- Gọi \( M \) là trung điểm của đoạn \( BC \), nên \( BM = MC \).
- Gọi \( A, B, C, D \) lần lượt là các điểm như đã cho.

2. **Xác định vị trí các vectơ**:
- Gọi \( \vec{A}, \vec{B}, \vec{C} \) là các vectơ vị trí của các điểm \( A, B, C \).
- Từ điều kiện \( M \) là trung điểm của \( BC \), ta có:
\[
\vec{M} = \frac{\vec{B} + \vec{C}}{2}
\]

3. **Tính vectơ \( \vec{D} \)**:
- Theo đề bài, \( D \) nằm trên tia \( AM \) và thỏa mãn \( AM = MD \).
- Vậy
\[
\vec{D} = \vec{M} + (\vec{M} - \vec{A}) = 2\vec{M} - \vec{A}
\]
- Thay \(\vec{M}\) vào:
\[
\vec{D} = 2 \left( \frac{\vec{B} + \vec{C}}{2} \right) - \vec{A} = \vec{B} + \vec{C} - \vec{A}
\]

4. **Chứng minh đối diện bằng nhau**:
- Ta cần chứng minh \( \vec{AB} = \vec{CD} \) và \( \vec{AD} = \vec{BC} \).
- Tính \( \vec{AB} \) và \( \vec{CD} \):
- \(\vec{AB} = \vec{B} - \vec{A}\)
- \(\vec{CD} = \vec{D} - \vec{C} = (\vec{B} + \vec{C} - \vec{A}) - \vec{C} = \vec{B} - \vec{A} = \vec{AB}\)

- Tính \( \vec{AD} \) và \( \vec{BC} \):
- \(\vec{AD} = \vec{D} - \vec{A} = (\vec{B} + \vec{C} - \vec{A}) - \vec{A} = \vec{B} + \vec{C} - 2\vec{A}\)
- \(\vec{BC} = \vec{C} - \vec{B}\)

5. **Kết luận**:
- Vì \( M \) là trung điểm của \( BC \) và \( D \) được xác định như trên, ta có \( \vec{AB} = \vec{CD} \) và \( \vec{AD} = \vec{BC} \).
- Do đó, theo định nghĩa, tứ giác \( ABCD \) là hình bình hành.

Vậy, tứ giác \( ABCD \) là hình bình hành.